64ª Reunião Anual da SBPC

A. Ciências Exatas e da Terra - 5. Matemática - 1. Álgebra

INFINIDADE DOS PRIMOS: ALGUMAS DEMONSTRAÇÕES

Priscila Costa Diniz 1 Vanessa Moraes Mendes 2 Fernando Lucatelli Nunes 1

1. Depto de Matemática, IE - Universidade de Brasília 2. Depto de Educação Superior de Tecnologia - Instituto Federal de Ciência e Tecnologia do Maranhão

INTRODUÇÃO:

A teoria elementar dos números estuda os números inteiros. Ela tem exercido grande fascínio na mente humana desde as mais remotas épocas da antiguidade, desafiando inúmeras gerações de matemáticos que apreciam seus resultados simples e intrigantes, cujas demonstrações estão, muitas vezes, além de qualquer simplicidade. Em particular, o estudo dos números primos, tendo sua importância inicial ilustrada pelo teorema fundamental da aritmética, deu origem a muitos problemas e resultados que fazem parte do desenvolvimento e pesquisa em teoria dos números. Nesse sentido, a infinidade dos primos é um dos resultados mais fundamentais e básicos dessa área. A primeira demonstração desse resultado é apresentada no famoso tratado de Euclides e é considerada pioneira no uso do método da contradição. Atualmente, pelo menos oito demonstrações são conhecidas: muitas delas sugeriram desenvolvimentos importantes em teoria dos números. Esse trabalho objetiva introduzir, motivar e divulgar os detalhes dessas demonstrações, incluindo os assuntos prévios necessários para a construção dos argumentos.

METODOLOGIA:

O projeto foi desenvolvido mediante reuniões, discussões, e leituras de artigos e materiais bibliográficos relacionados. Nas notas do projeto, foram desenvolvidos os assuntos básicos para construção dos argumentos de algumas das demonstrações da infinidade dos primos: incluindo, por exemplo, teoria elementar dos números, topologia geral e álgebra comutativa. Dentre as demonstrações que foram trabalhadas, estão a do matemático Euler, a do matemático Furstenberg e a do matemático Washington. A demonstração de Euler, publicada em 1737, é indireta e pouco natural, mas constitui a base para o estudo da distribuição dos primos. O argumento de Furstenberg, cujas ideias foram posteriormente desenvolvidas num trabalho de Golomb, utiliza conceitos de topologia geral e foi publicada em 1955 no American Mathematical Monthly. Por fim, a demonstração de Washington, publicada em 1980, utiliza elementos de álgebra comutativa.

RESULTADOS:

As três principais demonstrações trabalhadas mostraram que, além de apresentarem novas perspectivas sobre teoremas clássicos, novos argumentos podem despertar e motivar ideias úteis na resolução de outros problemas. As notas do projeto, incluindo os detalhes das demonstrações da infinidade dos primos, serão publicadas na página de Teoria de Lie e Dinâmica da UnB, http://liedinamica.wordpress.com. Como produto adicional do projeto, foi produzido um material didático e de divulgação sobre topologia geral, álgebra comutativa e teoria dos números em nível elementar, que também estará disponível no mesmo endereço eletrônico.

CONCLUSÃO:

Esse tipo de projeto é especialmente importante para o estudante ter contato com assuntos não rotineiramente abordados na graduação em matemática. Em particular, apesar do trabalho ser direcionado à demonstração de um único teorema, ele motivou o estudo em diversas áreas, como topologia geral e álgebra comutativa. Isso proporcionou aos estudantes uma visão mais ampla de algumas áreas da matemática e mostrou como assuntos podem se interligar de forma inesperada, fornecendo ferramentas poderosas para demonstrar teoremas.

Palavras-chave: Números Primos, Topologia Geral, Teoria dos Números.