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| A. Ciências Exatas e da Terra - 5. Matemática - 4. Matemática Aplicada | ||
| ANÁLISE COMPUTACIONAL DOS CONJUNTOS DE JULIA E MANDELBROT | ||
| Estillac Lins Maciel Borges Filho 1 (estillac@redecasd.ita.br) e Maisa de Oliveira Terra 2 | ||
| (1. Divisão de Ciência da Computação, Instituto Tecnológico de Aeronáutica - ITA; 2. Divisão de Ensino Fundamental, Instituto Tecnológico de Aeronáutica - ITA) | ||
| INTRODUÇÃO:
O estudo da geometria fractal foi revolucionado com o advento da computação gráfica. De equações analíticas surgiram figuras deslumbrantes que são capazes de despertar fascínio e curiosidade em qualquer ser humano. Assim, aliado ao fato de que a geometria fractal está intrinsecamente ligada ao estudo da teoria do caos, ela vem sendo amplamente pesquisada e difundida no meio científico. O objetivo deste trabalho é explorar a dinâmica dos conjuntos fractais de Julia e Mandelbrot, apresentando e verificando suas características, singularidades e propriedades. Hoje, a geometria fractal já possui diversas aplicações científicas em análise de batimentos cardíacos, estudos demográficos, estudos climáticos, processamento de imagens, compressão de dados, música, entre outros. Sendo assim, um conhecimento detalhado do comportamento de conjuntos fractais específicos (como os de Julia e Mandelbrot) é indispensável para que novas aplicações possam ser descobertas. |
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| METODOLOGIA:
Para se atingir o objetivo do trabalho, primeiramente foi realizado um levantamento bibliográfico sobre a teoria básica da geometria fractal, de modo que houvesse subsídios para a análise dos conjuntos de Julia e Mandelbrot. Em seguida, foram construídos programas computacionais que simulassem as iterações quadráticas complexas estudadas por Julia. Com auxílio desses programas, foram investigadas as características marcantes de evoluções temporais para diversos pontos iniciais (sementes) do plano complexo. Além disso, utilizando diversas cores para representar as tendências iterativas de cada ponto do plano complexo sobre a iteração analisada, o programa foi capaz de gerar a imagem dos conjuntos de Julia. O último passo foi estudar o conjunto de Mandelbrot. Para tal, outro programa foi construído para gerar a imagem deste conjunto, novamente utilizando cores para enriquecer a análise. O detalhamento da estrutura deste fractal foi explorado através de ampliações em regiões específicas da imagem do conjunto de Mandelbrot. |
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| RESULTADOS:
A análise computacional desenvolvida revelou diversos aspectos interessantes sobre as iterações complexas estudadas. Para cada iteração, foi possível constatar: a existência da Bacia de Atração do Infinito e do Conjunto Prisioneiro, cuja fronteira constitui o conjunto de Julia relativo à iteração; a invariância dos conjuntos de Julia, isto é, pontos do conjunto quando iterados permanecem neste; a predominância fractal nos conjuntos de Julia (apenas alguns poucos conjuntos não possuem geometria fractal); a dinâmica caótica obtida quando pontos dos conjuntos de Julia são iterados; a dicotomia existente nos conjuntos de Julia, isto é, alguns conjuntos são conexos e outros desconexos; e ainda, a beleza e complexidade intrínseca aos conjuntos de Julia. Ao analisar o conjunto de Mandelbrot, que é construído baseado na propriedade de dicotomia dos conjuntos de Julia, e suas ampliações, foram observadas estruturas bastante complexas que revelam o quanto tal conjunto é detalhado e comprovam ser este um dos mais fantásticos fractais existentes. |
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| CONCLUSÕES:
Os resultados encontrados mostram que os conjuntos de Julia possuem propriedades bem interessantes e particulares, que podem ser utilizadas em estudos de sistemas dinâmicos modelados por equações quadráticas no plano complexo para se conseguir alguma propriedade particular ao sistema em análise. Além disso, o conjunto de Mandelbrot apresentou um detalhamento tão rico em sua estrutura, que pode ser utilizado para aplicações gráficas diversas. Portanto, este trabalho cumpriu seu objetivo de destacar tais características inerentes aos conjuntos de Julia e Mandelbrot para que possam servir de ferramental para diversas aplicações científicas. |
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| Trabalho de Iniciação Científica | ||
| Palavras-chave: Conjuntos Fractais de Julia e Mandelbrot; Sistemas Dinâmicos Caóticos; Bacias de Atração e Conjuntos Limites. | ||
| Anais da 57ª Reunião Anual da SBPC - Fortaleza, CE - Julho/2005 |