| A. Ciências Exatas e da Terra - 5. Matemática - 2. Análise |
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A TRANSFORMADA DE LAPLACE |
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| Marcio A. Jorge da Silva 1 |
| Alfredo Tadeu Cousin 1 |
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| (1. Departamento de Matemática / UEM) |
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| INTRODUÇÃO: |
No estudo de Equações Diferenciais Ordinárias que tem origem na modelagem de certos problemas físicos, como circuitos elétricos ou vibrações de sistemas mecânicos, quando a força externa atuante no sistema é descontínua, observamos que a resolução do problema de valor inicial correspondente, não se efetiva com o simples uso de métodos convencionais. Neste trabalho desenvolvemos uma metodologia que permite resolver tais problemas de valor inicial, de maneira mais eficiente e elegante, salientando a importância que a teoria de operadores desempenha em matemática. A transformação linear que estudamos é o operador integral denominado Transformada de Laplace, que, por ser inversível, torna possível resolver um grande número Equações Diferenciais Lineares, inclusive aquelas derivadas de modelos físicos onde as forças atuantes no sistema não possuem um "bom comportamento". Para estes casos, onde é aparentemente impossível obter a Transformada correspondente, fizemos uso de ferramentas auxiliares extremamente potentes, tais como, o Teorema da Convolução, as Funções de Green e a Função Gama. Com este método, foi possível obter solução de problemas, onde a força externa aplicada é do tipo impulso instantâneo (Função Delta de Dirac), isto é, a intensidade total da força externa está concentrada em um único instante. Fisicamente isto significa que, quando a força aplicada ao objeto é constante, a variação total da quantidade de movimento do objeto é igual ao impulso devido à força. |
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| METODOLOGIA: |
O presente trabalho de pesquisa resultou na elaboração de um método matemático para resolver problemas de valor inicial, que consiste em “destruir as derivadas” e assim transformar uma E.D.O. em uma equação algébrica. Para se extrair o máximo do método foi fundamental a compreensão das E.D.O. lineares e de técnicas de resolução de integrais não triviais, bem como o estudo sobre continuidade de funções não elementares. Iniciamos com o estudo da atuação da Transformada de Laplace sobre equações diferenciais lineares. Explorando suas principais propriedades, juntamente com a obtenção de um número suficiente de Transformadas de Laplace de funções elementares tornou possível resolver uma quantidade expressiva de E.D.O. lineares. No caso de funções periódicas, o cálculo da Transformada de Laplace se reduziu ao simples cálculo de uma integral, o que ampliou a classe de problemas abordados. A necessidade de ampliar ao máximo a classe das funções estudadas exigiu a compreensão e a aplicação adequada de importantes resultados de Análise Matemática, como o Teorema de Convolução e a análise da Função de Green para vários operadores diferenciais. Para execução deste trabalho, foram realizadas pesquisas bibliográficas com acompanhamento dos orientadores através de seminários semanais. Ao final foi elaborada uma monografia contendo a síntese dos resultados obtidos. |
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| RESULTADOS: |
Usando a Função Gama, obtivemos a Transformada de Laplace da função ƒ(t)=1/[t^(1/2)], o que permitiu exibir um interessante contra-exemplo, mostrando que existem funções, que mesmo não sendo de ordem exponencial, possuem Transformadas de Laplace.
Provamos os Teoremas de Translação que foram usados para construir a Transformada de vários tipos não triviais de funções. Provamos as principais propriedades do Produto de Convolução e também a Fórmula de Convolução:
L[ ∫0t ƒ(t-ξ).g(ξ)dξ] = L [ƒ]. L[g]
Como resultado mais relevante sobre aplicações da Transformada de Laplace, resolvemos o Problema da Mola Vibrante, interpretando matematicamente o problema correspondente e explicitando as soluções, tanto no caso de um peso submetido a uma força vertical variando no tempo, quanto na situação de uma força constante na direção vertical (função impulso), que é aplicada ao objeto com toda sua intensidade concentrada num intervalo de tempo arbitrariamente pequeno. Neste caso, apresentamos o comportamento da solução do sistema quando o tempo tende a zero e obtivemos explicitamente a Transformada de Laplace do Delta de Dirac δ(t-a). |
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| CONCLUSÕES: |
A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa na resolução de Equações Diferenciais Lineares com condições iniciais. Trata-se de um operador integral (linear), que atua destruindo as derivadas e transformando as equações diferenciais em simples equações algébricas. Este é o princípio da teoria dos operadores, que junto com a Análise Funcional, fornecem alternativas para o trato de problemas da Análise Aplicada. Com ela podemos resolver desde problemas simples até problemas relacionados a modelos matemáticos mais complexos, tais como, sistemas elétricos ou vibrações mecânicas, inclusive em casos matematicamente atípicos, onde as forças atuantes nos sistemas possuem interpretação não trivial. Através de suas aplicações é possível resolver um número expressivamente maior de problemas de valor inicial, do que os métodos usuais de resolução podem resolver. |
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Instituição de fomento: CNPq / CAPES / PPG-UEM
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Trabalho de Iniciação Científica
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Palavras-chave: Transformada de Laplace; Função de Green; Delta de Dirac. |
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| Anais da 58ª Reunião Anual da SBPC - Florianópolis, SC - Julho/2006 |
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