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B. Engenharias - 1. Engenharia - 3. Engenharia Civil

INVESTIGAÇÃO DA CONVERGÊNCIA DE SOLUÇÕES APROXIMADAS DE PROBLEMAS SINGULARES EM ELASTICIDADE ANISOTRÓPICA
Jesus Antonio García Sánchez 1
Adair Roberto Aguiar 1
(1. Departamento de Estruturas - SET/EESC/USP)
INTRODUÇÃO:
Soluções de problemas elástico-lineares predizem a existência de tensões infinitas em cantos e vértices de trincas. Em geral, os métodos numéricos clássicos fornecem soluções que aproximam bem as tensões longe destes pontos singulares. Aqui, utilizamos o Método dos Elementos Finitos para investigar numericamente um problema de equilíbrio considerado por Lekhnitskii (1968). Este autor considera o equilíbrio de uma placa circular, homogênea e anisotrópica que é radialmente comprimida ao longo do seu contorno exterior por uma força normal uniformemente distribuída. O problema de Lekhnitskii possui solução fechada, a qual fornece tensões infinitas no centro da placa e um comportamento anômalo de auto-intersecção em uma vizinhança deste centro. Investigações numéricas (Obeidat et al, 2001, e Aguiar, 2004) indicam que a solução aproximada deste problema, obtida de uma formulação clássica de elementos finitos com uma malha refinada, não aproxima bem a solução fechada em todos os pontos da placa. Não há, entretanto, uma análise de convergência do método.
METODOLOGIA:
Utilizamos o Método dos Elementos Finitos para investigar numericamente o problema de Lekhnitskii. Realizamos um estudo de convergência do método com respeito ao número de graus de liberdade M e ao grau do polinômio interpolador p e avaliamos a razão de convergência do método. Além disso, incorporamos no método a estrutura singular da solução exata do problema de Lekhnitskii em uma vizininhança do centro da placa. Podemos assim comparar resultados obtidos da solução exata com resultados obtidos das soluções aproximadas obtidas de formulações de elementos finitos enriquecidas e não enriquecidas com a estrutura singular.
RESULTADOS:
Comparamos a solução exata com uma sequência de soluções numéricas obtidas de uma formulação clássica de elementos finitos para um número M crescente de graus de liberdade (M = 60, 120, ..., 1920) e para funções interpoladoras lineares por partes (p = 1). A discretização é uniforme, pois queremos simular uma situação em que o ponto singular não seja conhecido. Lembramos que o ponto singular do problema de Lekhnitskii está localizado no centro da placa. Observamos que o método converge linearmente, mas muito devagar. Observamos também que o enriquecimento da formulação de elementos finitos com a expansão assimptótica da solução exata diminui o erro, apesar da convergência ainda ser lenta. Comparamos em seguida a solução exata com uma sequência de soluções numéricas obtidas de uma formulação clássica de elementos finitos para um valor crescente do grau do polinômio interpolador p, (p = 1, 2, 3, 4) e para M = 1920. Neste caso, o método converge muito devagar.
CONCLUSÕES:
O método converge linearmente, embora de forma lenta, com o aumento do número de graus de liberdade  M e a razão de convergência independe do grau do polinômio interpolador p. A utilização da estrutura singular da solução analítica no método numérico fornece resultados mais precisos do que os resultados encontrados na literatura, apesar da velocidade de convergência não melhorar. Ao aumentarmos M, ou, p, o número de dígitos significativos adotado no cálculo da matriz de rigidez deve ser aumentado para que resultados numéricos precisos sejam obtidos. Em nossas simulações este número variou de 15 a 120 dígitos em um computador PC e com o código numérico implementado no pacote simbólico MATHEMATICA 5. Implementamos este código também no pacote numérico MATLAB 6.5 e observamos conclusões semelhantes.
Trabalho de Iniciação Científica  
Palavras-chave: Elementos finitos; elasticidade; anisotropia.
Anais da 58ª Reunião Anual da SBPC - Florianópolis, SC - Julho/2006