| A. Ciências Exatas e da Terra - 5. Matemática - 6. Matemática |
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O PROBLEMA DA COBERTURA POR HIPER-TORRES E A LOTERIA ESPORTIVA |
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| Marcos Vinicius Pereira Spreafico 1 |
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| (1. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA-UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ/ UEM) |
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| INTRODUÇÃO: |
O tema deste projeto está relacionado a um dos problemas centrais da teoria combinatória dos códigos. O estudo da cobertura por hiper-torres iniciou-se com os pesquisadores Taussky e Todd em 1948 quando propuseram o problema via grupos abelianos. Já na década de 80 com o trabalho de outros pesquisadores como, Kamps e Van Lint, e Stanton, Carnielli a função ganhou novas aplicações e enfoques. Basicamente, o problema é uma generalização da seguinte questão: num tabuleiro de xadrez quantas torres são necessárias e suficientes para que toda casa do tabuleiro seja atingida por pelo menos uma torre? Esta generalização está associada uma função combinatorial, que pode ser modelada via códigos corretores de erros. Para isso considere o espaço V(q, n) das palavras de tamanho n e cujas letras estão num alfabeto de q letras e a questão, qual o menor número de esferas de Hamming de raio R contidas em V(q, n) tais que todo vetor de V(q, n) esteja contido em pelo menos uma esfera? Há mais de meio século essa função de difícil estimativa tem atraído a atenção de pesquisadores de algumas áreas, tais como, a matemática, ciências da computação e da teoria de informação. Todavia, já são conhecidas várias classes de valores exatos, cujos resultados apresentam conexões entre álgebra, usando principalmente estruturas, tais como, corpos finitos, espaços vetoriais, quadrados latinos mutuamente ortogonais e os códigos de máxima separação (MDS). |
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| METODOLOGIA: |
Como usual em matemática, a realização do trabalho se deu com a leitura de capítulos de livros, artigos de divulgação sobre o assunto e matérias em revistas cientificas apresentação de seminários semanais em sala de aula e mais um encontro semanal para esclarecimentos de duvidas do bolsista. |
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| RESULTADOS: |
Um dos resultados tratados no projeto e já conhecido sobre o problema das hiper-torres, aborda uma interessante relação entre quadrados latinos e códigos MDS, o qual gera uma classe de valores exatos para o problema das hiper-torres. Inicialmente, o estudo de quadrados latinos foi feito por Euler com a apresentação do problema dos 36 oficiais, há mais de dois séculos, que era um caso particular do estudo dos quadrados latinos mutuamente ortogonais. Do fato de que os estudos sobre os quadrados latinos são mais antigos que o problema das hiper-torres, já se sabia vários resultados sobre o problema proposto por Euler. Daí, a relação entre quadrados latinos e códigos MDS, deriva uma classe de valores exatos para o problema das hiper-torres.
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| CONCLUSÕES: |
Concluímos nosso trabalho comentando uma interessante aplicação. Uma classe particular de coberturas induz uma estratégia de apostas para acertar pelo menos n-1 jogos de futebol dentre uma rodada de n jogos; em particular, o caso n=13 está associado ao jogo da loteria esportiva. Como o assunto apresenta um caráter interdisciplinar, nosso objetivo principal foi desenvolver uma visão geral do problema das hiper-torres, enfatizando conhecidas conexões entre conceitos combinatoriais, algébricos e da teoria dos códigos. |
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Instituição de fomento: PIBIC-CNPQ/UEM
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Trabalho de Iniciação Científica
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Palavras-chave: CÓDIGOS; QUADRADOS LATINOS; LOTERIA ESPORTIVA. |
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| Anais da 58ª Reunião Anual da SBPC - Florianópolis, SC - Julho/2006 |
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