| A. Ciências Exatas e da Terra - 5. Matemática - 2. Análise |
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M-ESPAÇOS MÉTRICOS – ALGUMAS PROPRIEDADES |
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| Jaqueline Paganini Biserra 1 |
| Roseli Fernandez 1 |
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| (1. Departamento de Matemática / IME-USP) |
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| INTRODUÇÃO: |
Um espaço métrico (X,d) é chamado um M-espaço métrico se, dados x e y em X e r em [0,d(x,y)], tem-se que existe um único z(r) em X tal que B[x,r] ∩ B[y,d(x,y)-r] = {z(r)}; onde B[w,s] denota a bola fechada de centro w e raio s (o espaço R2 com a métrica usual, por exemplo, é um M-espaço métrico, mas com a métrica na qual as bolas são retângulos, não o é). Esses espaços são interessantes porque neles têm-se os conceitos de segmento e de subconjuntos convexos. Surge então, naturalmente, o interesse em saber se as bolas fechadas são convexas, se o “problema da melhor aproximação” tem solução e se essa solução é única. No trabalho, apresentamos algumas respostas para esses questionamentos. Além disso, apresentamos uma caracterização para que um M-espaço métrico seja estritamente convexo. Todos os resultados deste trabalho foram extraídos do artigo: KHALIL, R., Best approximation in metric spaces; Proceedings of the American Mathematical Society, Vol 103, No. 2, 1988, 579 – 586. |
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| METODOLOGIA: |
Leitura e estudo do artigo: KHALIL, R., Best approximation in metric spaces; Proceedings of the American Mathematical Society, Vol 103, No. 2, 1988, 579 - 586. |
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| RESULTADOS: |
Seja (X,d) um M-espaço métrico. São verdadeiras as seguintes afirmações: (1) toda bola fechada é Chebyshev (dizemos que um subconjunto fechado, G, de X é Chebyshev se para ele o “problema da melhor aproximação” tem uma única solução, isto é, dados x em X\G, existe um único y em G tal que a distância de x a G é igual à distância de x a y); (2) bolas fechadas são convexas se, e somente se, para todo subconjunto fechado e convexo, G, de X e para todo x em X\G, tem-se que o conjunto b(x,G) ≔ {y em G | d(x,y) é igual à distância de x a G} é convexo; (3) se todo subconjunto convexo e fechado, G, de X, com b(x,G) não vazio para todo x em X\G, for Chebyshev, então as bolas fechadas serão convexas; (4) X é estritamente convexo (isto é, para quaisquer z em X e r>0, tem-se que, para todo x e y em B[z,r], o segmento que une x a y, exceto suas extremidades, está contido na bola aberta de centro z e raio r) se, e somente se, todo subconjunto convexo e fechado, G, de X, com b(x,G) não vazio para todo x em X\G, é Chebyshev. |
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| CONCLUSÕES: |
Seja (X,d) um M-espaço métrico. Tem-se que: (1) bolas fechadas são sempre Chebyshev, mas não se pode afirmar que sempre são convexas; (2) se o “problema da melhor aproximação” tiver solução, nada se sabe quanto à sua unicidade; (3) se X for estritamente convexo, então as bolas fechadas serão sempre convexas, e se G for um subconjunto convexo e fechado de X para o qual o “problema da melhor aproximação” tem solução, então essa solução será única. |
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Instituição de fomento: CNPq
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Trabalho de Iniciação Científica
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Palavras-chave: espaços métricos; M-espaços métricos; melhor aproximação. |
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| Anais da 58ª Reunião Anual da SBPC - Florianópolis, SC - Julho/2006 |
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