Isometrias planas são transformações do plano no plano que preservam distância entre dois pontos, isto é, são transformações que preservam a forma de figuras planas. O conjunto de todas as isometrias do plano munido da operação composição constitui um grupo, chamado grupo de isometrias planas. Neste trabalho estudamos uma classe especial de grupos de isometrias, a saber, os grupos ornamentais. As isometrias destes grupos permitem estabelecer padrões geométricos que podem representar fitas, mosaicos, ladrilhos, papéis de parede, ou seja, padrões de figuras planas que se repetem segundo uma ordem. Estes grupos são divididos em três classes: grupos de rosáceas, grupos de frisos (ou fitas) e grupos de papéis de parede (ou cristalográficos). Apresentamos os grupos de rosáceas que são grupos de isometrias finitos, mostramos que estes grupos são os cíclicos e os diedrais, reproduzindo um resultado que na literatura é atribuído a Leonardo da Vinci. Em seguida estudamos os grupos de frisos (ou fitas) que são aqueles em que o subgrupo de translações é o grupo cíclico infinito. Mostramos que estes grupos se dividem em sete classes, apresentando ilustrações que possibilitam a visualização de cada alguns destes grupos, assim como fitas construídas segundo eles. Finalizamos, apresentando os grupos de papéis de parede (ou cristalográficos) que são os grupos de isometrias em que o subgrupo de translações é gerado por duas translações de amplitude mínima e linearmente independentes, através destas translações definimos também o reticulado do grupo. Mostramos ainda que existem exatamente dezessete grupos desta natureza, apresentando reticulados correspondentes a alguns destes grupos, assim como as respectivas ilustrações e alguns papéis de parede construídos segundo estes grupos.

A metodologia adotada para alcançar os objetivos propostos foi a metodologia própria da pesquisa matemática, que consiste na revisão bibliográfica de livros e artigos relacionados aos temas propostos, seminários e reuniões de trabalho. Além disso, a pesquisa do projeto também foi apoiada por programas computacionais auxiliares que possibilitaram a visualização e confecção das figuras geométricas estudadas, a fim de ilustrar conceitos ou apresentar exemplos.

Os teoremas de classificação de grupos de frisos e grupos de papéis de parede, que são resultados clássicos, porém no trabalho foram abordados sob uma ótica geométrica.

Os grupos estudados são grupos discretos de isometrias planas, estes aqueles que apresentam propriedades discretas sob figuras geométricas planas. Logo, são os grupos em que podemos usar argumentos geométricos para ilustrar propriedades algébricas e vice-versa.

Trabalho de Iniciação Científica