| A. Ciências Exatas e da Terra - 3. Física - 2. Ensino de Física |
|
VISÃO CLÁSSICA DO CRISTAL DIATÔMICO |
|
| Felix René Arias Revollo 1 |
| Maira Gaspar Tosato 1 |
|
| (1. Departamento de Física / UEL) |
|
|
| INTRODUÇÃO: |
Com finalidade didática faz-se uma descrição clássica, usando as equações de movimento de Newton, do movimento vibratório dos átomos nos sólidos diatômicos unidimensionais, considerando pequenos deslocamentos em torno das suas posições de equilíbrio (oscilação harmônica). O cristal é representado como um conjunto de osciladores acoplados por molas de constante elástica Ki. As soluções das equações de movimento apresentam um comportamento ondulatório, determinando-se então as freqüências dos modos normais de oscilação dos átomos na rede cristalina. Introduzindo-se a periodicidade da rede cristalina, ou seja, o comportamento discreto da rede, aparecem tanto o fenômeno de dispersão das ondas em que a relação entre as freqüências de oscilação e o vetor de onda não é linear, tal como aconteceria se a rede tivesse o comportamento de um meio contínuo, como também uma banda de freqüências em que as ondas não se propagam. Ou seja, o modelo clássico reproduz o comportamento de estado sólido que apresentam os cristais. |
|
| METODOLOGIA: |
Seja um cristal unidimensional com dois átomos por célula unitária, tipo NaCl, de massas M1 e M2 com separação entre os átomos de a/2, onde a é a dimensão da célula unitária. Os átomos da célula unitária estão ligados por molas de constante elástica K1 e a ligação com os átomos externos à célula é K2, com K1 > K2. Assumimos a aproximação harmônica na oscilação dos átomos. Para uma cadeia linear diatômica dividida em células unitárias nomeadas por n-1, n, n+1, e a posição dos átomos dentro da célula por 1 e 2, as equações de movimento obtidas usando a segunda lei de Newton, considerando a interação entre vizinhos mas próximos, serão M1 (d2/dt2)un,1=K1(un,2 – un,1) – K2(un,1 – un-1,2) e M2(d2/dt2)un,2=K1(un,1 – un,2)+K2(un+1,1 - un,2)
onde un,i é o deslocamento do átomo i (com i=1,2) que encontra-se na célula n. Para deslocamento dos átomos paralelos à cadeia linear, assumimos soluções na forma de ondas progressivas do tipo: un,1=A1 exp[i(qna – wt)] e un,2=A2 exp{i[q(n+1/2)a –wt]}. Onde Ai é a amplitude de vibração do átomo i, q é a constante de propagação. Substituindo as soluções nas equações de movimento, teremos equações lineares homogêneas e terão solução somente se o determinante dos coeficientes A1 e A2 for zero. Cuja solução nos dá as freqüências de oscilação dos átomos ou seja w2=6K(1/M1+1/M2)±2K[9(1/M1+1/M2)2 – 20 sen2(qa/2)]1/2 , para o caso de K1 = 10K e K2 = 2K, em que para cada valor de q teremos dois valores de w. |
|
| RESULTADOS: |
As duas soluções das freqüências de oscilação, w, têm valores assintóticos diferentes quando q à 0. Para a solução com o sinal positivo, ela têm um valor de w ≠ 0 para q à 0 e os átomos oscilam em oposição de fase, e no caso de termos um cristal iônico, que contém íons com cargas alternadas + e -, os íons oscilarão acoplados à radiação eletromagnética ou às ondas óticas (ramo ótico). Para a solução com o sinal negativo ela tende a zero ou w/q = constante , ou seja, tem o comportamento das ondas de som (ramo acústico). Em termos do comportamento ondulatório das soluções, as freqüências w correspondem à relação de dispersão de w contra q e possuem dois ramos: o ramo acústico e o ramo ótico . Existe uma banda de freqüências entre os dois ramos em que as ondas se amortecem e não podem se propagar, e a largura desta banda proibida depende da diferença entre as massas dos dois átomos, se as duas massas são quase iguais a largura da banda será mínima. O vetor de onda q, que define a direção de propagação da onda, adquire valores discretos devido à periodicidade do cristal. Para condições de contorno periódico: un,1 = un+N,1 e un,2 = un+N,2, onde N é o número de células do cristal, temos q=2πh/Na onde –N/2≤h≤N/2, e os valores de q estarão limitados à região -π/a≤q≤π/a; também devido ao comportamento discreto do cristal aparece o fenômeno da dispersão das ondas, relação de w contra q, descrito pelas freqüências de oscilação dos átomos, que não são mais lineares. |
|
| CONCLUSÕES: |
O modelo clássico que descreve uma rede cristalina diatômica unidimensional, mostra a existência de mais opções de vibração dos átomos dentro da célula unitária, duas freqüências w para cada valor de q. Se os átomos movem-se juntos em fase, temos o chamado ramo acústico por terem o comportamento das ondas de som; e se oscilam em oposição de fase, temos o ramo ótico devido a que estas oscilações são excitadas por causa da radiação eletromagnética ou ondas óticas. As freqüências que definem cada ramo, dão lugar a uma banda proibida em que as ondas não se propagam. As soluções das equações de movimento apresentam comportamento ondulatório, onde o vetor de onda q, que define a direção de propagação das ondas, adquire valores discretos devido à periodicidade do cristal diatômico, limitados à região -π/a≤q≤π/a; também devido ao comportamento discreto do cristal aparece o fenômeno da dispersão das ondas, que é a relação de w contra q que não é mais linear. |
|
Instituição de fomento: Universidade Estadual de Londrina
|
|
|
|
Palavras-chave: cristal; diatômico; oscilações. |
|
| Anais da 58ª Reunião Anual da SBPC - Florianópolis, SC - Julho/2006 |
|