Muitos problemas reais em engenharia possuem uma equação de difícil solução analítica. Diante deste problema, várias técnicas numéricas surgiram, e com o advento dos computadores elas puderam ser amplamente utilizadas.

O método em estudo neste trabalho é o Método dos Elementos Finitos (MEF). O Método de Elementos Finitos é uma técnica numérica para obtenção de soluções aproximadas para problemas de valor de contorno da matemática-física. O método tem uma história de aproximadamente 50 anos. Ele primeiro foi proposto nos anos 40, mas seu uso começou nos anos 50 para produção de aeronaves.

O método parte do principio que o domínio em estudo deve ser decomposto ou discretizado em pequenas regiões chamadas “elementos finitos”. Uma formulação matemática adequada é aplicada a cada um dos elementos do domínio e o conjunto de soluções relativas a cada elemento nos fornece a solução global do problema.

Os métodos numéricos não nos fornecem uma solução exata para o problema, mas se usados de forma correta pode-se obter uma solução satisfatória, próxima da solução real, podendo ser desconsiderado o erro entre elas. A precisão desejada do MEF dependerá da discretização da geometria do domínio.

Neste trabalho, o MEF foi utilizado para solucionar problemas tridimensionais de difusão de calor em materiais. A superfície em estudo foi discretizada de diferentes maneiras para observarmos a importância da qualidade das malhas para a obtenção de resultados satisfatórios. Para tal, foi utilizado o software Gmsh.

Um problema típico de valor de contorno pode ser definido por uma equação diferencial em um domínio Ω é dada por LΦ = f (1) junto com as condições de contorno no contorno Γ que confina o domínio. Em (1), L é um operador diferencial, f é a excitação ou função de força, e Ø é a grandeza desconhecida.

Classes em C++ já desenvolvidas foram utilizadas para solucionar o problema da difusão de calor, cuja equação é dada por dT/dt = grad² (T) + Q. Onde T é a temperatura, t é o tempo e Q é uma fonte de calor. O próprio programa já possuía um gerador de malha para subdividir o domínio em n elementos. Este gerador discretizava apenas regiões cúbicas. Foi utilizado o software livre GMSH para que fosse possível discretizar regiões de geometria mais complexas. Duas malhas foram utilizadas para verificar a importância de uma malha de maior qualidade na obtenção de resultados mais precisos e próximos da solução analítica. A primeira de menor qualidade, gerada pelo próprio programa de cálculo e a segunda gerada através do GMSH.

A adaptação da malha gerada pelo GMSH ao do programa de cálculo foi possível através do estudo do arquivo de saída gerado pelo GMSH. É este arquivo que contém todas as características da malha (nós, elementos e conectividade). Uma classe que lê os dados de interesse do arquivo de saída foi criada e integrada ao programa de cálculo. Após a alocação dos dados em variáveis, foi necessário fazer um estudo detalhado do código do programa de cálculo para substituir corretamente os dados.

Após o desenvolvimento das classes e da utilização do programa para resolver o problema de difusão de calor em uma amostra cúbica de banana para as malhas de menor e maior qualidade, respectivamente 400 e 2000 nós, comparamos os resultados obtidos através do MEF com a solução analítica do problema. Observou-se que a solução da malha com maior número de elementos foi bastante próxima da solução analítica enquanto a malha de menor qualidade apresentou erros mais significativos.  

A geração de malhas é um aspecto crítico na utilização do Método de Elementos Finitos. Este processo influencia bastante na eficiência dos resultados finais.

Nos estágios iniciais do MEF, o esforço maior foi focado nas formulações e resolução dos problemas. As partes de pré e pós-processamento receberam uma atenção limitada o que comprometeu bastante a qualidade final dos resultados.

Devido à necessidade crescente da geração de malhas com qualidade para o MEF muita atenção tem sido focalizada na geração automática de malhas nas ultimas décadas. A dicretização do domínio é uma etapa muito importante na utilização do método, pois é ela que determina a qualidade final dos resultados: uma discretização mal feita pode comprometer todo o resultado final, gerando uma resposta com erros significativos.

Com a introdução do software GMSH o programa desenvolveu um resultado mais próximo do real devido a melhoria da qualidade malha.