Este projeto de iniciação científica tem como objetivo geral deduzir e estudar a solução da equação diferencial do calor em uma barra unidimensional usando Análise de Fourier. O estudo da equação do calor consiste em calcular a temperatura em um determinando ponto de uma barra, num determinado instante de tempo. Esse cálculo da temperatura é feito resolvendo uma equação diferencial parcial, juntamente com condições conhecidas do sistema que garantem a unicidade da solução e permitem adequar a solução ao sistema físico estudado.

Para chegar à equação diferencial parcial do calor e sua resolução foram revisados e estudados conteúdos matemáticos necessários à demonstração e dedução da mesma. No desenvolvimento deste trabalho são apresentadas as deduções e exemplos físicos relacionados a cada conteúdo matemático estudado. As equações diferenciais ordinárias (EDO’s) representam muitos modelos de comportamentos físicos na natureza. Alguns problemas físicos foram citados e resolvidos, como a queda de um corpo sob a ação da gravidade e resistência do ar, um sistema massa-mola-amortecedor e um circuito resistor-capacitor-indutor. Em seguida, as séries de Fourier foram deduzidas e exemplificadas, estas surgiram quando Fourier trabalhava na resolução da equação diferencial do calor. As equações diferenciais parciais assim como as EDO’s, representam vários modelos matemáticos de sistemas físicos, em particular o da condução de calor; tais equações foram exemplificadas e resolvidas, bem como expostas situações para a sua resolução, sendo apresentado como exemplo de aplicação à solução para o problema da armadilha eletrônica através da resolução da equação de Shrödinger. Finalmente, apresentamos a dedução da equação diferencial parcial (EDP) que representa a condução de calor em uma barra unidimensional e a resolução da mesma para diversas condições iniciais e de contorno.

Os resultados obtidos neste trabalho de iniciação científica foram: i) a EDP do calor, deduzida a partir da equação da capacidade calorífica de um corpo e da lei de resfriamento de Fourier; ii) a aplicação do método de separação de variáveis de Fourier para a resolução da EDP do calor; e iii) a obtenção das séries de Fourier como solução da EDP do calor.

Com este trabalho, obtivemos uma melhor compreensão de uma importante ferramenta matemática para modelagem de sistemas físicos, as equações diferenciais parciais. Esta ferramenta nos possibilitou deduzir a equação do calor e, com isso, pudemos entender melhor o comportamento térmico dos materiais no regime transitório da temperatura em uma barra, e também a sua dependência com relação às condições de contorno e iniciais. Outra importante ferramenta matemática estudada foram as séries de Fourier. Estas, juntamente com o método da separação de variáveis, nos possibilitaram solucionar a EDP do calor para casos particulares, nos quais conhecemos o comportamento térmico inicial e nas fronteiras da barra, e os tomamos como as condições de contorno e valor inicial que garantem a unicidade da solução da EDP.

Instituição de fomento: Centro Universitário de Jaraguá do Sul - UNERJ

Trabalho de Iniciação Científica