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B. Engenharias - 1. Engenharia - 8. Engenharia Elétrica

Método de Equações Integrais de Fronteira Aplicado à Eletrostática

Cláudio Henrique Gomes dos Santos 1
Flávio José de Souza 1
Márcio Matias Afonso 1
(1. Centro Federal de Educação Tecnológica / CEFET-MG)
INTRODUÇÃO:
Em engenharia, constantemente aparecem problemas práticos de difícil solução exata devido à sua complexidade. Os métodos numéricos são utilizados com objetivo de proporcionar soluções aproximadas. Atualmente isto se torna cada vez mais possível graças à maior divulgação destas técnicas numéricas e aos avanços dos recursos computacionais. Dentre as várias técnicas numéricas existentes, destaca-se neste trabalho o método de equações integrais de fronteira (MEIF) ou método dos elementos de contorno, nome dado a um método numérico que se baseia em equações integrais, e através de sua formulação, elimina as operações no interior do domínio, restando apenas as de contorno. Esta redução de uma dimensão, dá ao MEIF consideráveis vantagens, tais como: tempo de organização dos dados reduzido; menor gasto com processamento e armazenamento; alta precisão, pois não há imposição de aproximações para condições de campo nulo, já que estes não são considerados nas formulações. é claro que existem desvantagens, como: matemática um pouco mais elaborada; matriz solução populosa; dificuldades para tratar superfícies delgadas e problemas não-lineares, onde é necessário o modelamento do interior do domínio. Entretanto é importante lembrar que, mesmo neste último caso, o método continua sendo muito preciso, mas perde sua principal vantagem de redução da dimensão do problema. O objetivo desse trabalho é aplicar o MEIF para solucionar problemas relacionados à Engenharia Elétrica em baixa freqüência.
METODOLOGIA:
O MEIF é o nome dado a um método numérico de solução de equações diferenciais (parciais) cuja formulação as transforma em equações integrais sobre o contorno/fronteira da região particular em estudo. Para a sua aplicação prática, pode-se resumir o método nos seguintes procedimentos: obtenção da equação integral de contorno a partir da equação diferencial do problema; discretização do contorno; montagem das matrizes e solução do sistema de equações. As equações integrais são encontradas com o auxílio do Teorema de Green. Já no processo de discretização do contorno, utiliza-se uma série de elementos de geometria bem definida. Estes elementos são regidos por funções de forma que descrevem o comportamento das grandezas envolvidas no problema. A geometria dos elementos varia com a dimensão do problema em estudo, nos casos bidimensionais, usam-se segmentos de reta ou segmentos curvos e nos casos tridimensionais, elementos triangulares ou poligonais planos (paralelepípedos) são escolhidos. O maior ou menor refinamento da discretização do contorno influencia a precisão dos resultados finais. Para a montagem das matrizes, são necessárias integrações, que podem ser resolvidas com o auxílio do método da quadratura de Gauss. Em seguida, as matrizes são organizadas de forma a haver N equações lineares e N incógnitas, para que possa ser solucionada por um método qualquer de solução matricial (por exemplo, o método da eliminação gaussiana).
RESULTADOS:
Foi analisado um problema linear governado pela equação de Laplace para se comprovar as formulações e demonstrar a validade da técnica numérica proposta neste trabalho. Considere um capacitor de placas paralelas. Este exemplo foi utilizado porque, além de permitir solução analítica, aparece de forma recorrente na literatura pesquisada. Conhecidas as condições de contorno essenciais, ou de Dirichlet (os potenciais elétricos na fronteira); e as condições naturais, ou de Neuman (as derivadas direcionais do potencial na superfície), pode-se assegurar, com base no teorema da unicidade, que a solução existe e é única. A partir das condições de contorno iniciais, foram feitos vários testes, e percebe-se a precisão dos resultados numéricos. Entretanto verifica-se a presença de singularidades numéricas, caracterizadas por divergência do valor da integral quando o ponto de fonte coincide com o ponto de integração. Este problema pode ser contornado com a utilização de maior número  de pontos de Gauss na integração numérica, ou através de integração analítica.
CONCLUSÕES:
O MEIF é uma poderosa ferramenta para a resolução de problemas de fronteira em engenharia. Apesar de ter sido desenvolvido aqui visando o cálculo em eletromagnetismo, ele pode, como qualquer outro método numérico, ser adaptado para outras situações. Este método é extremamente preciso por incorporar naturalmente as condições de contorno. Vem sendo muito utilizado em problemas de espalhamento eletromagnético, antenas e no cálculo de propagação em estruturas guiantes, enfim, é o método mais adequado quando se trata problemas de região aberta, isto é, que se estende ao infinito. Pretende-se dar continuidade a essa linha de pesquisa, intensificando os estudos de singularidade, buscando eliminar os seus efeitos; aplicar o método a geometrias mais complexas e avançar para problemas de propagação eletromagnética.
Instituição de fomento: Centro Federal de Educação Tecnológica / CEFET-MG
Trabalho de Iniciação Científica  
Palavras-chave: Método de equações de fronteira; Elementos de contorno; Singularidade.
Anais da 58ª Reunião Anual da SBPC - Florianópolis, SC - Julho/2006