A presente comunicação faz parte do trabalho de iniciação científica que consiste em estudar o comportamento crítico do modelo de Ising através de aproximações de campo médio. O modelo de Ising é uma poderosa ferramenta para a modelagem de um sistema físico real e tem sua validade julgada pela extensão de sua aplicabilidade e concordância com as observações experimentais. O modelo foi proposto, inicialmente, em 1920 com o objetivo de estudar o ferromagnetismo de momentos localizados. Mas além do ferromagnetismo também pode descrever outros sistemas físicos, tais como fluido através da versão de gás de rede e as ligas binárias. Entretanto, nesse trabalho consideramos apenas o modelo de Ising para o ferromagnetismo com spins interagentes em uma rede bidimensional quadrada. Nesse modelo um spin tem apenas dois estados “para cima” ou “para baixo” e a idéia de campo médio consiste em considerar que cada spin da rede esta na presença de um campo magnético efetivo produzido por todos os demais spins. O campo é proporcional a magnetização média do sistema e como conseqüência, apenas parte da flutuação de cada spin em torno de seu valor médio é considerada. O modelo tem solução exata em uma e duas dimensões, porém a solução em duas dimensões obtida por Onsager, representa um grande desafio pela complexidade dos cálculos envolvidos. 

Para descrever a teoria microscópica de transição ferromagnética, consideramos a Hamiltoniana que descreve o modelo de Ising na ausência de campo magnético. A solução exata do modelo é obtida fazendo a somatória sobre todos os estados possíveis do sistema. Da função de partição, podemos escrever todas as grandezas físicas, tais como: energia livre, energia interna e a magnetização, que é o parâmetro que define a transição de fase. Utilizando a distribuição de probabilidades escrevemos o valor médio da magnetização por sitio. Fazendo aproximação de campo médio, que consiste em considerar apenas as flutuações em primeira ordem, obtivemos a equação que descreve a magnetização do sistema. Na equação encontrada para a magnetização consideramos a divisão da energia magnética (J) pela constante de Boltzmann (K_B) igual a uma constante, para termos uma situação em que a magnetização dependa somente da temperatura. Para resolver a equação, utilizamos os métodos numérico e gráfico. Através do Maple atribuímos valores a temperatura e observamos o correspondente valor para a magnetização. Os resultados alcançados com o auxilio do Maple foram utilizados na construção dos gráficos concernentes a magnetização em função da temperatura. Os gráficos, que foram construídos com o Xmgrace, foram comparados com as soluções gráficas obtidas através de outras técnicas.

Neste trabalho, podemos observar que o modelo de Ising apresenta transição de fase em temperaturas não nulas. Podemos ver, também, que quando  o sistema está no estado fundamental com todos os spins alinhados. Quando T cresce a magnetização decresce. Em uma dada temperatura (T_c     temperatura de Curie) a magnetização é zero. Acima de T_c o sistema está completamente desordenado. Portanto, em T_c       o sistema sofre uma transição de fase (ferro-paramagnético).

Quando a temperatura aumenta, aparece uma competição entre a energia magnética (J) e a energia térmica (K_BT). A energia magnética favorece a ordem (alinhamento paralelo dos spins). Por outro lado, a energia térmica favorece a desordem (alinhamento aleatório). Ainda que esse comportamento quando descrito pelo modelo de Ising pareça simples, porém, não há solução exata em três dimensões. Quando consideramos soluções aproximadas, a técnica de campo médio oferece bons resultados para casos em que as flutuações são pouco importantes. Nas soluções gráficas e numéricas obtidas para duas dimensões, usando a aproximação de campo médio, os resultados estão de acordo com os obtidos por técnicas mais aprimoradas como a de Monte Carlo.