| A. Ciências Exatas e da Terra - 3. Física - 7. Física Geral |
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DIFUSÃO LOGARÍTMICA: SIMETRIAS DE LIE E SOLUCÕES |
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| Érica de Mello Silva 1, 2 |
| Tarcísio Marciano da Rocha Filho 2 |
| Ademir Eugênio de Santana 2 |
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| (1. Núcleo de Física, Universidade Federal do Tocantins / UFT; 2. Instituto de Física, Universidade de Brasília / UnB) |
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| INTRODUÇÃO: |
Há alguns anos uma equação de Fokker-Planck com drift logarítmico foi proposta para descrever a distribuição do tamanho de partículas formadas por nucleação [1]. Mais recentemente, uma classe de equações de Fokker-Planck com difusão logarítmica foi apresentada [2]. A dependência logarítmica pode ser encontrada em vários contextos, como na função que descreve a difusão de esferas pesadas [3] e em processos de difusão quântica caótica [4]. Apesar disso, a presença de termos logarítmicos em equações de transporte ainda não tem sido estudada intensivamente. Por outro lado, muito esforço tem sido feito na tentativa de entender melhor a dinâmica de Fokker-Planck [5]. Alguns métodos utilizados para este fim visam propor, além de soluções, a generalização de equações com uma dada simetria. Neste trabalho, examinamos uma classe de equações de reação-difusão logarítmica [2] e, através do método de simetrias de Lie, obtemos sua generalização para equações de Fokker-Planck com termos não-lineares. |
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| METODOLOGIA: |
No procedimento padrão para obter generalizações de equações de transporte, um ingrediente central consiste na escolha da simetria inicial, que usualmente é considerada como a simetria de um conjunto mais restritivo de equações. Por exemplo, se o grupo de simetria de uma equação de difusão é conhecido, ele pode ser utilizado como simetria inicial para obter equações de Fokker-Planck. Utilizando o pacote computacional SADE (Simmetry Analysis of Differential Equations) [6], desenvolvido pelo Grupo de Física Matemática da Universidade de Brasília, as simetrias de Lie da equação de reação-difusão logarítmica foram obtidas e o conjunto de equações determinantes foi resolvido. Para a generalização desta equação de interesse, foi considerada uma classe de equações não-lineares do tipo Fokker-Planck onde o termo de fonte é um monômio na distribuição. |
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| RESULTADOS: |
Portanto, partindo de uma equação de reação-difusão logarítmica, sem termo de reação e com álgebra de simetria conhecida, as equações numa dada classe que são invariantes sob esta álgebra de simetria foram obtidas. Mais especificamente, foram encontradas uma equação de Fokker-Planck e duas equações do tipo Fokker-Planck com termos de fonte não-lineares, todas com dependência logarítmica nos coeficientes de drift e difusão. Algumas soluções para essas equações também foram obtidas utilizando métodos computacionais algébricos. |
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| CONCLUSÕES: |
Conclui-se, neste trabalho, que a equação de reação-difusão logarítmica considerada pertence a uma classe mais abrangente de equações de transporte que têm, além do termo difusivo, termo de arrasto (drift) e termo de fonte não-linear. Este último pode ser associado ao termo de reação, presente em algumas equações de reação-difusão. A equação original, com simetria conhecida, também pode ser generalizada para outras classes de equações de transporte, como a das equações de meio poroso. A possibilidade de generalizar processos de difusão logarítmica pode ser útil no estudo de alguns problemas da Física Estatística que ainda estão em aberto.
[1] S. H. Lehnick, J. Math. Phys. 30 (1989) 953.
[2] K. Pesz, J. Phys. A: Math. Gen. 35 (2002) 1827.
[3] D. J. Jeffrey and Y. Onishi, J. Fluid Mech. 139 (1984) 261.
[4] C. P. Dettman and E. G. D. Cohen, J. Stat. Phys. 101 (2000) 775.
[5] M. de Montigny, F. C. Khanna, and A. E. Santana, Physica A 323 (2003) 327.
[6] T. M. Rocha Filho and A. Figueiredo, http://ares.fis.unb.br/fismat/sade.html |
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Instituição de fomento: CNPq
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Palavras-chave: Difusão Logarítmica; Simetrias de Lie; Equações de Fokker-Planck. |
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| Anais da 58ª Reunião Anual da SBPC - Florianópolis, SC - Julho/2006 |
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