60ª Reunião Anual da SBPC

INTRODUÇÃO:

Todos os fenômenos naturais são descritos através de equações de movimento não lineares. Uma ideia sobre o comportamento destes sistemas é analisado através da descrição do movimento de um sistema oscilante submetido a uma força amortecedora e a uma força externa oscilante. No nosso caso o sistema analisado é o pêndulo físico, cuja equação de movimento é uma equação não linear. Na análise do movimento, através dos gráficos ω x θ (velocidade angular x deslocamento angular) observa-se que pequenas variações nas forças externas mudam o comportamento do sistema, sendo impossível uma descrição precisa da trajetória do corpo. Esse comportamento imprevisível, devido a pequenas variações das condições iniciais, mostra-nos que o movimento é caótico, não sendo possível prever qual será a trajetória quando aplicada uma determinada força.

METODOLOGIA:

Tratamos do caso do pêndulo físico, que é descrito como um corpo pontual de massa m que se encontra presa a uma barra sem massa de comprimento d, submetido a ação de forças externas como a resistência do ar e uma força externa oscilante. A equação de movimento não linear do pêndulo será: d2θ/dt2= - ωo2(senθ) – G dθ/dt + To cos(ωo t); onde θ é o deslocamento angular a partir da posição de repouso; ωo é a freqüência natural de oscilação; G é um parâmetro relacionado com a resistência do ar; To é um parâmetro relacionado com a intensidade da força externa oscilante; ωe é a freqüência angular da força externa oscilante. A resolução deste tipo de equações somente é possível utilizando métodos numéricos, neste caso foi usado o algoritmo de Euler modificado que descrevemos a seguir. Se a equação diferencial é dy/dx= f(x,y) com a condição inicial y(0)= constante, onde f(x,y) é uma função linear ou não linear, então a solução será: Yi+1=yi+h/2[f(xi,yi)+hf(xi,yi)] com i=0,1,2,…. Descrevemos dois casos: i) o caso das pequenas oscilações ou seja para valores muito pequenos do deslocamento angular θ, em que a equação de movimento se reduz a d2θ/dt2= - ωo2 θ – G dθ/dt + To cos(ωo t); ii) o caso do movimento não linear do pêndulo, ou seja para valores grandes do deslocamento angular θ.

RESULTADOS:

Em ambos os casos a análise dos movimentos foram feitos através dos gráficos de ω x θ (velocidade angular x deslocamento angular), e no espaço tri-dimensional de ω x θ x t (velocidade angular x deslocamento angular x tempo). A análise dos dois casos de movimento foram realizadas para os mesmos valores fixados dos parâmetros ωo, ωe e G: ωo=1, G=0,5, ωe=2/3, mas variando o valor do parâmetro To. No caso i) ou das pequenas oscilações foram variados os valores do parâmetro To em 0,5; 1,0; 1,07; 1,5 com a condição inicial θ(0)=0,01 rad e ω(0)=0. Dos gráficos pode-se observar que o movimento é um movimento amortecido, em que as amplitudes de oscilação inicial são cada vez maiores conforme se aumenta o valor de To. No caso não linear ou ii) as condições iniciais foram θ(0)=π/2 e ω(0)=0, mas variando os valores de To: a) de 0,5 a 0,9 em que observa-se um movimento amortecido; b) para 1,02 a 1,07 o movimento é quase periódico; c) para To > 1,2 até 1,5 o movimento não mostra nenhuma periodicidade não sendo possível descrever o movimento.

CONCLUSÕES:

No caso das pequenas oscilações o movimento para todos os valores do parâmetro To é sempre amortecido, resultado que é esperado conforme a equação de movimento. No caso do movimento não linear observa-se uma mudança no comportamento do pêndulo físico, sem mostrar nenhuma periodicidade no movimento quando variamos as condições iniciais do parâmetro To, parâmetro que descreve a força externa oscilante, sendo impossível a descrição do movimento. Ou seja, as variações nas condições iniciais do movimento mudam o comportamento do sistema. Nessa situação é impossível uma descrição precisa da trajetória do corpo, já que seu comportamento é imprevisível ou seja é caótico. Ou seja, o caos está relacionado com as mudanças no comportamento do sistema de forma que não é possível descrever a sua trajetória quando variamos a intensidade da força externa aplicada.

Instituição de fomento: Universidade Estadual de Londrina

Palavras-chave: pêndulo físico, caos, movimento não linear

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