60ª Reunião Anual da SBPC

INTRODUÇÃO:

O potencial de Morse foi introduzido em 1929 e, desde então, ele tem sido usado para descrever uma gama bastante grande de fenômenos. Uma aplicação importante do Potencial de Morse é na descrição de pontes de hidrogênio em modelos mecânicos para o DNA. Nesses modelos, usualmente encontrados na literatura, as equações de movimento são tratadas classicamente. O objetivo deste trabalho é estudar a solução clássica das equações do movimento para uma partícula sujeita ao potencial de Morse. Os resultados foram obtidos por integração direta das equações do movimento, como é geralmente feito para solucionar a equação de Poisson-Boltzmann usada para descrever um plano carregado imerso em solução iônica. Estes resultados foram comparados com as soluções encontradas na literatura, as quais introduzem um parâmetro ρ que está relacionado com a energia total do sistema, E, e com a profundidade do poço de potencial, D. Esse resultado dificulta a aplicação das condições iniciais, pois estas não aparecem de forma explícita na solução final. O mesmo não acontece com o resultado encontrado pelo método de integração direta.

METODOLOGIA:

Como neste trabalho o estudo do Potencial de Morse foi feito de forma clássica, as equações do movimento foram obtidas a partir da segunda lei de Newton. A força (F) que atua sobre a partícula tem relação direta com a energia potencial V , ou seja, F=−gradV ( S.T. Thornton, J.B.Marion, Classical Dynamics of particles and systems, Brooks/Cole, Belmont, 2004). As equações de movimento podem ser encontradas pela igualdade entre a segunda lei de Newton com a derivada do potencial de Morse em relação a coordenada x. Essas equações do movimento foram encontradas somente para uma dimensão pois, no modelo mecânico do DNA, a molécula é tratada como uma rede unidimensional. O Potencial de Morse V_M(x) é definido pela expressão: V_M(x)=D(1−e^{−a(x−x₀)})²−D, onde D e a são parâmetros relacionados, respectivamente, com a profundidade e largura do poço de potencial e x₀ representa o ponto sobre o eixo x onde o potencial tem valor mínimo. Após uma série de ajustes na equação de movimento o problema se resumiu na resolução de uma integral cujo denominador é a raiz quadrada de um polinômio de segunda ordem.

RESULTADOS:

A solução da equação do movimento em questão está diretamente relacionada com o valor da energia total do sistema. Existem três soluções diferentes, a primeira para E>0 ou para a energia acima do poço de potencial, outra para E=0 e uma terceira solução para E<0. Nos casos E=0 e E>0, foi encontrado um movimento não confinante, ou seja, a partícula não fica presa ao poço de potencial. Dessa forma, nesses dois casos o espaço de fases apresentou órbitas abertas. Para energias negativas, o espaço de fases apresentou órbitas fechadas, mostrando que quando E<0 a partícula fica confinada dentro do poço de potencial.

CONCLUSÕES:

As soluções da equação do movimento para o potencial de Morse encontradas neste trabalho são análogas às encontradas na literatura ( W.C. DeMarcus, Am. J. Phys., 46, 733, 1978). Porém a resolução pelo método de integração direta mostrou ser desnecessária a introdução de um novo parâmetro relacionado com a energia E e com a profundidade do poço de potencial, D. Além disso, os resultados mostram explicitamente as condições iniciais do problema, facilitando, posteriormente, a análise dos gráficos. As soluções obtidas também confirmam o confinamento da partícula para energias negativas, ou seja, dentro do poço de potencial, e um movimento não confinante para valores de energia maiores ou iguais a zero. Esses resultados são apresentados na referência F. L. Moraes Barboza, A. J. Costa, N. F. Ribeiro, E. Drigo Filho, Revista Brasileira de Ensino de Física, 29, 543, 2007. O fato de a equação de movimento ter uma estrutura matemática parecida com a Equação de Poisson-Boltzmann (E. Drigo Filho, A. Agostinho Neto, Trends in Physical Chemistry, 10, 65, 2004) possibilitou o uso do método de integração direta para encontrar as soluções para o potencial de Morse. Também é possível encontrar analiticamente soluções para a equação de Poisson – Boltzmann com termos exponenciais adicionais, o que leva a possibilidade de resolver, futuramente, as equações de movimento para o potencial de Morse modificado (V_M+Be^−bx ).

Instituição de fomento: Vice-Reitoria da UNESP

Trabalho de Iniciação Científica

Palavras-chave: Potencial de Morse, Equação do movimento, Dinâmica

E-mail para contato: nataliafavaro@hotmail.com