60ª Reunião Anual da SBPC

INTRODUÇÃO:

Até o século XIX, a geometria trabalhava com um conceito de espaço formado por apenas 3 dimensões, mas com a evolução dos estudos da geometria analítica e do cálculo, as geometria não euclidianas foram sendo criadas. Gauss, Bolyai e Lobachevski na tentativa de demonstrar o quinto postulado de Euclides descobriram um plano, denominado hiperbólico, que tinha como principal característica a curvatura negativa. Ou seja, neste plano havia a possibilidade de se traçar, por um ponto exterior a uma reta, no mínimo duas retas paralelas à reta dada e triângulos cuja soma de seus ângulos internos não chegava a 180°. Riemann apresentou um outro plano, denominado elíptico ou Riemanniano, que também quebrava a consistência do quinto postulado de Euclides, sendo de curvatura positiva, onde a soma dos ângulos internos de um triângulo desse plano excedia 180°, além de não ser possível traçar, por um ponto exterior a uma reta, nenhuma paralela a reta dada. Surgiram então novas geometrias denominadas geometrias não-euclidianas e então estudos foram sendo realizado sobre qual era a geometria que descreveria melhor o universo. Neste contexto o objetivo deste trabalho é apresentar alguns modelos de geometrias não euclidianas, de forma didática, já que quando se fala em geometria, imediatamente pensa-se no plano cartesiano, onde além de várias outras propriedades, a soma dos ângulos internos de triângulo é igual a 180º. É objetivo deste trabalho também mostrar alguns resultados obtidos da geometria não euclidiana que são usados na resolução de problemas que envolvem rotas de navegação marítima e o lançamento de satélites.

METODOLOGIA:

Para o desenvolvimento deste trabalho, primeiramente serão apresentadas definições teóricas e, visando deixar o trabalho mais didático para que mesmo pessoas que não são da área de exatas possam entendê-lo, serão apresentados, sempre que possível, gráficos explicativos dos problemas e definições apresentados. Serão apresentados em seguida, problemas cujas resoluções baseiam-se nas geometrias não euclidianas, como problemas que envolvam, por exemplo, lançamento de satélites e a navegação marítima, visto que não é conveniente tratar dessas questões utilizando a geometria euclidiana devido à curvatura da Terra e à deformação do espaço (universo) pela forte ação gravitacional dos planetas.

RESULTADOS:

Usando a geometria de Riemann, foram discutidos problemas como localização de um ponto sobre a superfície terrestre usando as coordenadas geográficas, ou seja, meridianos e paralelos e a partir disto foram definidas e equacionadas retas, distância entre pontos, retas paralelas e etc. São também mostrados triângulos que possuem dois ou três ângulos retos e que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo, diferentemente dos triângulos na geometria euclidiana, varia entre 180º e 540º usando exemplos bastante didáticos. Em seguida foi abordada também a teoria relativista de Einstein onde espaço sofre deformações devido à enorme ação gravitacional dos planetas e mostrado que para estudar as propriedades desse espaço é preciso aplicar geometrias não-euclidianas, pois quanto mais intenso for o campo gravitacional, mais forte será a curvatura correspondente.

CONCLUSÕES:

É importante o desenvolvimento de trabalhos na área de geometria não euclidiana, pois possui grandes aplicações em várias áreas do conhecimento e ainda é bastante desconhecida, inclusive por grande parte de professores de matemática. Foram também mostrados exemplos cujas resoluções não podem ser feitas usando a geometria euclidiana, como é o caso da localização de um satélite em órbita da Terra e também o caso da localização de um barco em alto mar. Discute-se no trabalho também a possibilidade de trabalhar estes exemplos de forma interdisciplinar. Termina-se este trabalhando concluindo que é de extrema importância a realização de trabalhos que divulguem mais as várias geometrias euclidianas, pois estas estão bastante presentes nas soluções de vários problemas que foram e são extremamente importantes para o progresso da humanidade.

Instituição de fomento: FUNDAÇÃO REGIONAL EDUCACIONAL DE AVARÉ - FREA

Trabalho de Iniciação Científica

Palavras-chave: Geometria não Euclidiana, Riemann, Modelagem

E-mail para contato: luciane_fa@yahoo.com.br