60ª Reunião Anual da SBPC

INTRODUÇÃO:

Ao contrário da Geometria Euclidiana que foi criada pelo homem, inicialmente, para resolver problemas de medidas em geral, a Geometria Projetiva foi construída para explicar o mundo que vemos. Por isso essa geometria às vezes é conhecida como a "geometria da visão". Por exemplo, quando olhamos os trilhos de um trem no horizonte não vemos retas paralelas, mas sim retas que se encontram no horizonte (no infinito). Essa é uma das características marcantes da Geometria Projetiva, duas retas quaisquer sempre têm um ponto em comum. Pode-se dizer que a Geometria Projetiva surgiu com o interesse de artistas renascentistas em dar aos seus quadros mais realismo. Isso levou alguns desses artistas a estudarem mais profundamente leis que determinassem à visualização de objetos tridimensionais quando pintados em telas. Porém, foi apenas em 1639 que Girard Desargues (1591-1661) formalizou esses conceitos. Um fato importante sobre a geometria projetiva, é que ela pode ser desenvolvida usando-se apenas régua não graduada. O principal objetivo deste trabalho foi explorar a Geometria Projetiva, utilizando softwares de geometria dinâmica (Geogebra ou Cabri-Géomètre). Outro objetivo foi estudar as cônicas, no contexto da Geometria Projetiva, e a sua construção quando dados cinco quaisquer de seus pontos.

METODOLOGIA:

Os materiais utilizados foram os usuais num projeto da área de matemática, ou seja, artigos, teses e dissertações, livros e sítios na internet, além, evidentemente, do software de geometria dinâmica Geogebra. O Geogebra é um software livre que permite efetuar construções geométricas de modo muito mais rápido e preciso do que no ambiente lápis&papel, oferece a possibilidade de movimentar e modificar os desenhos, permitindo a visualização de propriedades e relações geométricas. A metodologia empregada foi apresentação de seminários semanais ao orientador.

RESULTADOS:

Construímos, com o auxílio do software de geometria dinâmica, a cônica que passa por cinco pontos dados de duas maneiras: em uma utilizando a recíproca do Teorema de Pascal e na outra, a definição de Steiner juntamente com o Teorema Fundamental da Geometria Projetiva. Teorema de Pascal: Os pontos de interseção dos lados opostos de um hexágono inscrito em uma cônica são colineares. Definição de Steiner: Uma cônica é o lugar geométrico dos pontos comuns a retas correspondentes de dois feixes projetivos, mas não perspectivos. Teorema Fundamental da Geometria Projetiva: Uma projetividade é determinada quando três pontos colineares e seus três pontos colineares correspondentes são dados. Nas duas maneiras, dados cinco pontos quaisquer A, B, C, D e E, devemos encontrar um sexto ponto, o F, da cônica. Nos dois modos, as cônicas são obtidas como o lugar geométrico do ponto F.

CONCLUSÕES:

Obtivemos duas maneiras de obter uma cônica quando dados cinco pontos quaisquer. A primeira através do Teorema de Pascal, que é a base do funcionamento de um algoritmo para essa construção e, a segunda utilizando a definição de Steiner juntamente com o Teorema Fundamental da Geometria Projetiva.

Instituição de fomento: PIBIC/CNPq-Fundação Araucária-UEM

Trabalho de Iniciação Científica

Palavras-chave: geometria projetiva, cônicas, teorema de Pascal

E-mail para contato: cristinauem25@yahoo.com.br