| A. Ciências Exatas e da Terra - 3. Física - 2. Ensino de Física |
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| SIMULAÇÃO DOS NÍVEIS DE ENERGIA E DAS FUNÇÕES DE ONDA ESTACIONÁRIAS NUM POÇO DE POTENCIAL FINITO |
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Felix René Arias Revollo 1
Marcio José Alves 1
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1. Departamento de Física/UEL
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| INTRODUÇÃO: |
| A descrição de fenômenos físicos é realizada através de equações diferenciais, que nem sempre tem uma solução analítica, então é necessário o uso de técnicas computacionais. O presente trabalho mostra o uso de alguns métodos numéricos de resolução de um problema que envolve uma equação diferencial de segunda ordem, muito comum na mecânica; como um exemplo tratamos de um problema quântico descrito pela equação de Schrodinger. Com objetivo didático foram calculados os estados estacionários de uma partícula confinada num poço de potencial finito, de forma que V(x)=Vo=constante em –L/2≤x≤L/2 e V(x)=0 em |x|≤L/2. A simulação do sistema físico para obter as soluções é realizado por três métodos: i) método de Euler; ii) pela aproximação de diferenças finitas para a derivada segunda da equação diferencial; iii) método de Numerov. Foram calculados para potencias Vo= 100 e 200. As energias dos estados estacionários aproximam-se das soluções de um potencial Vo infinito, conforme se aumenta a altura do poço. O método Numerov apresenta uma rápida convergência na relação de recorrência gerada pelo algoritmo correspondente, permitindo maior rapidez e precisão nos cálculos. |
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| METODOLOGIA: |
| A equação de Schrodinger que descreve os estados estacionários de uma partícula de massa m, num poço de potencial unidimensional é d2u(x)/dx2=2[V(x)-E]u(x), onde assumimos, para simplificar, que m=ħ=1. Descrevemos o caso V(x)=V=Vo em |x|≥L/2 e V(x)=0 em |x|≤L/2, onde Vo é a profundidade e L a largura do poço, E a energia da partícula; e com as condições de contorno u(-L/2)=u(L/2)=0 de forma a termos ondas estacionárias dentro do poço de potencial. Os métodos usados para resolver este sistema apresentam os algoritmos descritos a seguir: i) o método de Euler: ui+1=ui+∆xdui/dx e dui+1/dx=dui/dx+2∆x[V-E]ui. Com uo=0 e duo/dx=1 e ∆x<<1 escolhido convenientemente. ii) Pela aproximação de diferenças finitas para a derivada segunda da equação diferencial: ui+1=2ui-ui-1-2∆x2[V-E]ui; iii) método Numerov: ui+1={2ui[1+5∆x2(V-E)/6]-ui-1[1-∆x2(V-E)/6]}/den onde den=1-∆x2(V-E)/6. Em todos os casos i=0,1,2,... Os métodos ii) e iii) precisam do conhecimento das funções de onda ui e ui-1, que escolhemos como uo=0 e u1=1x10-6 com estes valores calculamos nos pontos ui+1. As soluções são procuradas usando os três algoritmos descritos, ajustando os valores da energia E de forma a termos ondas estacionárias no poço de potencial, ou que verifiquem as condições de contorno u(-L/2)=u(L/2)=0. |
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| RESULTADOS: |
| Foram determinados os níveis de energia possíveis para um poço de potencial com Vo= 100 e 200. Para Vo=100 foram determinados quatro níveis de energia correspondentes aos comprimentos de onda: λ=1/2, λ=1, λ=1 ½ e λ=2. A energia do nível mais baixo, para λ=1/2, é 7,93 pelo método i); 6,95 pelo método ii) e 7,15 pelo método iii). As energias do último nível, para ondas de comprimento de onda λ=2 são, conforme os métodos i), ii) e iii), de 89,9;88,92; 93,35 respectivamente. Para um potencial de Vo=200 foram calculados cinco níveis de energia cujos valores oscilam em torno dos valores achados para o caso Vo=100, com a diferença de termos um nível a mais que corresponde a uma onda de λ=2 ½. Estas energias foram comparadas com o caso de um potencial infinito na região |x|≥L/2, em que as energias são 4,94 o primeiro nível e 119,6 o último nível. Conforme se aumenta a profundidade do poço de potencial ela se aproxima de um poço infinito, por tanto para valores de Vo grandes poderíamos considerar como uma boa aproximação este modelo. |
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| CONCLUSÃO: |
| Os níveis de energia determinados pelos três métodos se aproximam dos níveis de energia do poço de potencial infinito conforme vai se aumentando o valor de Vo. Portanto uma forma de verificar a validez dos métodos é através deste modelo de potencial, que é uma boa aproximação para valores de Vo grandes como por exemplo 1000. Os resultados obtidos por simulação se aproximam destes valores. As energias para valores de Vo finitos como é o nosso caso, devem ser calculadas através da relação analítica tg[π(E/Eo)1/2/2]=[(Vo-E)/E]1/2, onde Eo é a energia do estado fundamental do modelo de Vo infinito. Para o caso de Vo infinito esta expressão se aproxima de Eo=4,94 para o estado mais baixo. Como em todo método numérico existem erros nos cálculos, que se devem à aproximação no desenvolvimento dos algoritmos de cálculo. Enquanto os métodos i) e ii) tem um erro de corte na série de potencias da função da ordem de ∆x2, no método iii) é da ordem de ∆x6, ou seja, ele tem uma maior precisão nos cálculos. |
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| Instituição de Fomento: Universidade Estadual de Londrina |
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| Palavras-chave: simulação, poço quântico, níveis de energia.. |