61ª Reunião Anual da SBPC

A. Ciências Exatas e da Terra - 5. Matemática - 4. Matemática Aplicada

ALGORITMO DO MOVIMENTO BROWNIANO E DA PERCOLAÇÃO

Isaac Dayan Bastos da Silva 1 Joaquim Elias de Freitas 2 Marcelo Gomes Pereira 2 Francisco Márcio 1 Raimundo Nonato 1

1. Universidade Federal do Acre/UFAC 2. Universidade Federal do Rio Grande do Norte/UFRN

INTRODUÇÃO:

O principal objetivo deste trabalho é apresentar um algoritmo que simula uma “partícula” realizando um passeio aleatório por um trajeto definido por um aglomerado percolante em duas ou três dimensões e calcula a dimensão fractal do percurso descrito pela “partícula”. Para uma compreensão desta idéia é necessário entender os conceitos de percolação, movimento browniano, fractais e dimensão fractal.

METODOLOGIA:

O presente trabalho partiu da idéia de juntar o movimento browniano com a percolação utilizando um algoritmo, que simula o processo de percolação em n dimensões, elaborado por Joaquim Elias de Freitas e assim estudar as propriedades do percurso resultante do passeio aleatório, já que esse “rastro” (parte do aglomerado percolante) possui características fractais: dimensão fractal, auto-similaridade e construção feita a partir de um processo iterativo definido por uma alguma regra aleatória. Utilizando os conhecimentos adquiridos ao estudar esse algoritmo de percolação, foi possível a implementação de outro que gera um vetor de posições da partícula apenas se movimentando pelos sítios do aglomerado percolante e calcula a dimensão fractal do trajeto realizado após n passos da partícula.

RESULTADOS:

Um primeiro resultado desse algoritmo é a possibilidade do cálculo da dimensão fractal do “rastro” do passeio aleatório durante a execução do algoritmo que é em torno de cinco vezes menor que a dimensão de todo o aglomerado, mostrando que para poucas execuções (em torno de cem) a “partícula” tende a ficar próximo do sítio de partida. Outro resultado é a possibilidade de fazer simulações de problemas envolvendo transporte em rochas porosas, densidade anômala de estados de sistemas magnéticos aleatoriamente diluídos e outros problemas da física.

CONCLUSÃO:

Com os resultados obtidos, constatamos que o algoritmo permite um estudo mais aprofundado sobre as características do “rastro” deixado pela “partícula” utilizando a teoria fractal. Além disso, a técnica utilizada no algoritmo pode ser estendida para outros que também simulem o passeio aleatório em outros meios. Com algumas modificações, podemos utilizar esse algoritmo para simular outros tipos de passeios como, por exemplo, o passeio aleatório “self-avoiding” que é aquele que descreve um caminho sem auto-interseção e o passeio aleatório desenvolvido apenas sobre a espinha dorsal do aglomerado percolante, este último passeio possui uma estreita relação com as redes elétricas desordenadas.

Palavras-chave: Movimento Browniano, Fractais, Algoritmo de Percolação.