61ª Reunião Anual da SBPC

A. Ciências Exatas e da Terra - 3. Física - 7. Física Geral

PRECESSÃO DE ÓRBITAS NO PROBLEMA DE KEPLER PERTURBADO

WILTON JÚNIOR DE MELO KORT-KAMP 1 CARLOS FARINA 2

1. UFRJ/CCMN/INSTITUTO DE FÍSICA 2. UFRJ/CCMN/INSTITUTO DE FÍSICA/DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA

INTRODUÇÃO:

Quando falamos do problema de Kepler (não perturbado), estamos pensando no movimento de uma partícula sob a ação de uma força central cujo módulo varia com o inverso do quadrado da distância da partícula ao centro de força. De acordo com o Teorema de Bertrand, as órbitas limitadas de uma partícula sob a ação apenas de uma força central são necessariamente fechadas somente nos casos: (i) força de Kepler, F = -kr/r³, k>0, e (ii) força harmônica, F = -kr, k>0. Conseqüentemente, se perturbações forem incluídas a esses problemas, as órbitas perturbadas passarão, em geral, a sofrer uma precessão. Nesse trabalho, discutiremos vários exemplos de perturbação ao problema de Kepler, e calcularemos as respectivas velocidades de precessão.

METODOLOGIA:

Utilizaremos um método baseado no chamado vetor de Laplace-Runge-Lenz (LRL). O método baseia-se no fato de que o LRL no problema de Kepler não perturbado é uma constante de movimento e está sempre na direção do eixo de simetria da órbita orientando a mesma. No caso de Kepler a origem encontra-se em um dos focos da elipse descrita pelo movimento da partícula e, portanto, o LRL está sobre o semi-eixo maior da mesma. Ao incluirmos perturbações ao problema em questão o vetor de Laplace-Runge-Lenz deixará de ser uma constante de movimento e, portanto, terá uma taxa de variação temporal diferente de zero. Calcular a taxa de giro do LRL é equivalente a calcular a precessão da órbita da partícula, uma vez que tal vetor orienta a órbita no plano de movimento. Para o cálculo da velocidade de precessão adotamos um método perturbativo onde fizemos médias temporais na órbita não perturbada, e procuramos ao final do processo escrever = Ω x A, onde podemos identificar Ω como a velocidade de precessão procurada. Note que tal método pode ser aplicado de modo sistemático no estudo da precessão de órbitas com qualquer excentricidade e causadas por perturbações centrais ou não, tornando o mesmo uma ferramenta bastante útil e genérica, sendo aplicada a inúmeros casos.

RESULTADOS:

O primeiro problema que resolvemos foi o caso de uma força perturbadora central e que era inversamente proporcional à quarta potência da distância da partícula ao centro de força, podendo ser interpretada como a primeira correção da teoria da relatividade geral na teoria newtoniana da gravitação. Tal perturbação, quando levada em consideração, nos permitiu obter as correções nas velocidades de precessão dos planetas do sistema solar, como os conhecidos 43’’/sec de Mercúrio. Aplicamos esse método também ao caso de uma partícula sujeita a uma força de resistência proporcional a n-ésima potência da velocidade e mostramos, nesse caso, que não há precessão no movimento, porém, ela tende a ficar mais circular com o passar do tempo. Um caso peculiar ocorre quando consideramos a resistência linear com a velocidade, pois é nula a taxa de variação do LRL, nesse caso. Conseqüentemente, a órbita continua com as mesmas proporções originais, porém, diminuindo seu tamanho gradativamente. Apresentamos ainda um modelo para o cálculo da precessão dos planetas do sistema solar devido à presença dos demais planetas. Para tal problema fizemos as hipóteses simplificadoras de que os planetas perturbadores seriam considerados como anéis circulares homogêneos centrados no sol, de raio igual ao semi-eixo maior da órbita original e massa igual à do planeta. Por simplicidade, consideramos todos os planetas no mesmo plano. Com essas hipóteses, calculamos o potencial gravitacional de todos os anéis e obtivemos, posteriormente, a força perturbadora sobre cada planeta. Com isso, calculamos as velocidades de precessão de todos os planetas do sistema solar, obtendo boa concordância com os resultados observados, exceto para os casos em que as órbitas tinham excentricidade muito pequena (Vênus e Netuno).

CONCLUSÃO:

O método que utilizamos mostrou-se bastante genérico, permitindo obter resultados novos e alguns já conhecidos com relativa facilidade. Além disso, pode ser aplicado a órbitas com excentricidades arbitrárias. Fizemos, ainda, várias outras aplicações que não descrevemos anteriormente, como a precessão gerada por um campo magnético uniforme (no caso de partícula carregada) e a precessão causada pela emissão de radiação eletromagnética, ou seja, pela força de reação de radiação (também no caso de partícula carregada). Temos como perspectiva aprimorar o cálculo da precessão dos planetas do sistema solar, considerando agora anéis elípticos no lugar de círculos e as inclinações entre as órbitas, bem como aplicar o método do vetor LRL ao caso de órbitas de satélites que não estejam no plano equatorial terrestre e, portanto, sujeitos a uma força perturbadora não-central devido à forma oblata da Terra.

Instituição de Fomento: Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq

Palavras-chave: Precessão, Vetor de Laplace-Runge-Lenz, Problema de Kepler perturbado.