61ª Reunião Anual da SBPC
A. Ciências Exatas e da Terra - 3. Física - 7. Física Geral
MOVIMENTO DE PROJÉTEIS NA ATMOSFERA
Maurício Féo Pereira Rivello de Carvalho Ivan 1
Dirceu Atanazio Portes Jr 1
Hilário Antonio Rodrigues Gonçalves 1
1. Centro Federal de Educação Tecnológica do Rio de Janeiro
INTRODUÇÃO:
Neste trabalho estudamos a dinâmica de projéteis lançados na atmosfera onde a trajetória do projétil é obtida através de métodos computacionais. Para tanto, utilizamos o método de Runge e Kutta de quarta ordem para a solução numérica da equação de movimento do projétil. Consideramos uma força de resistência do ar proporcional ao quadrado da velocidade e à densidade do ar. Analisamos como o ângulo para o alcance máximo do projétil é afetado pela variação da força da gravidade e da densidade do ar em relação à altitude do projétil. É feito um estudo sobre a relação entre o alcance e o ângulo de lançamento para diferentes parâmetros. Esse estudo pode auxiliar na compreensão desde lançamentos num jogo de beisebol até disparos com armamentos bélicos, bem como na formulação de um software com objetivos didáticos.
METODOLOGIA:
Não fizemos uma abordagem experimental do problema, com sensores, câmeras, espaço aberto grande e muito menos armas, canhões ou catapultas. Iniciou-se o projeto com um pequeno estudo sobre o comportamento de projéteis lançados na atmosfera terrestre, o que nos levou a desenvolver um software usando a linguagem Object Pascal (Delphi), tornando possível uma representação visual da trajetória do projétil. Após a criação do software e os dados estarem de acordo com a realidade, começamos a fazer simulações. Os primeiros testes tiveram o objetivo de confirmar a precisão numérica do cálculo, comparando os resultados com situações conhecidas. Após o resultado dos testes confirmarem a precisão do software, analisamos várias situações e estudamos a peculiaridade de cada tipo de lançamento e como a variação dos parâmetros influi na trajetória. A saída visual do programa é composta de uma animação que exibi a trajetória do projétil em tempo real, numa escala adequada para a resolução do monitor. Também mostra a altura máxima e distância alcançada pelo projétil, o tempo total de lançamento e expõe o melhor ângulo de tiro para cada situação, se o objetivo for lançar o mais longe possível.
RESULTADOS:
Obtivemos alguns resultados óbvios, mas outros muitos interessantes. Observamos que a resistência do ar produz uma trajetória assimétrica, sendo que o percurso de queda é bem mais curto que o de subida, ao contrário da parábola simétrica que ocorre no lançamento sem atrito. Ao analisarmos a velocidade do projétil durante o lançamento vimos que os projéteis que atingem grandes altitudes atingem sua velocidade terminal constante na queda. E ao analisarmos os melhores ângulos de lançamento (maior alcance) observamos que para pequenos lançamentos, como uma pedra jogada com a mão, os ângulos variam de 40º a 43º. Já nos lançamentos com maior velocidade inicial, como tiros de fuzil, os ângulos são em torno de 32º. Seguindo a lógica, se tivéssemos um lançamento maior ainda como o de artilharia de longo alcance (por exemplo o canhão que bombardeava Paris a 115km de distância na 2ª guerra) o ângulo teria de ser ainda menor, porém o melhor ângulo para tal situação foi 55º
CONCLUSÃO:
Os pequenos lançamentos são mais eficientes com ângulos próximos de 45º porque quanto menor a velocidade do lançamento menor a influência da resistência do ar, e o ângulo de alcance máximo aproxima-se da solução trivial sem atrito com o ar, que é 45º. À medida que a velocidade inicial do projétil é aumentada e, por conseqüência, a ação da resistência do ar, o ângulo para o alcance máximo tende a diminuir; porque ao diminuirmos o tempo total de deslocamento, minimizamos a ação da força dissipativa de resistência do ar. No entanto, se as proporções do lançamento forem grandes o suficiente para o projétil atravessar a densa camada de ar da atmosfera podendo chegar a altas atitudes como a estratosfera, onde a densidade do ar é muito baixa, devemos aumentar o ângulo de lançamento para se obter o alcance máximo. Desse modo, minimiza-se a ação da força dissipativa ao aproveitar-se da baixíssima resistência do ar em altas altitudes. Esse fato permiti-nos concluir que a variação da densidade do ar com a altitude é um fator relevante e não deve ser desprezado para o calculo da trajetória de projéteis de longo alcance. Observamos também que a variação da aceleração da gravidade com a altitude é desprezível, mesmo para lançamentos de longo alcance da ordem de 100 km.
Instituição de Fomento: CNPq
Palavras-chave: movimento de projéteis, alcance de projéteis, força de arrasto.