61ª Reunião Anual da SBPC
A. Ciências Exatas e da Terra - 3. Física - 5. Física das Partículas Elementares e Campos
Estudo da Mecânica Quântica através do Grupo de Galileo
Vanessa Santos Teles da Silva 1
Milton Souza Ribeiro Miltão 1
1. 1. Departamento de Física /UEFS
INTRODUÇÃO:

O advento da Mecânica Quântica ressaltou a utilização do conceito de simetria na Física, particularmente, no que tange à abordagem algébrica da resolução de problemas quanto-mecânicos. Para compreendermos esse aspecto fundamental, a utilização da linguagem de teoria de grupos torna-se essencial, principalmente a denominada representação irredutível associada aos grupos definidos pelas soluções que surgem das equações diferenciais dos problemas físicos em questão. Nesse sentido, essa abordagem é importante para estudarmos sistemas físicos com spin.

No nosso trabalho, estaremos no domínio da Mecânica Quântica não Relativística considerando sistemas físicos com spin, os quais são descritos pelas equações de Schrödinger e Pauli.

Uma vez que estamos estudando num domínio não relativístico, do ponto de vista algébrico, podemos fazer considerações, levando em conta as transformações de Galileo.

Pretendemos no nosso trabalho, compreender as equações de uma partícula sob as transformações de Galileo, como uma forma de compreender mais profundamente a grandeza física spin. Este tema é bastante abordado dando contribuições para a formulação teórica da Mecânica Quântica.

METODOLOGIA:

Foi feito um estudo de textos clássicos que tratam sobre o assunto. Estes textos foram encontrados em livros e artigos científicos. Participamos de palestras, seminários, mini-cursos e defesas monográficas sobre algo relacionado ao tema. Foram feitas discussões dos problemas básicos através de encontros com o grupo de estudos de Física de Campus.

RESULTADOS:

O estado quântico de uma partícula de spin nulo é caracterizado pela função de onda ψ(r,t). 

Iћ(∂/∂t)ψ = (-ћ2 /2m)∆ψ+Vψ


Esta é a denominada equação de Schrödinger, que descreve uma partícula de massa m, sujeita a influência de um potencial V(r,t). Δ é o operador Laplaciano.

O estado quântico de uma partícula de spin ½ é caracterizado pela função de onda ψ(r,t), bi-componente.

[(1/2m)(σ(p-qA))2+qφ]|ψ=iћ(∂/∂t)|ψ

 Esta é a denominada equação de Pauli, onde m é a massa da partícula, q a carga, σ é um vetor de três componentes representando as matrizes 2X2 de Pauli, p é vetor tridimensional do operador momentum, A é a componente tridimensional do potencial vetor magnético, φ é o potencial escalar elétrico e |ψ> é a função espinorial de duas componentes.

Como estamos considerando os sistemas físicos microscópicos submetidos à baixas velocidades, comparadas com a velocidade da luz, podemos utilizar o conceito das transformações de Galileo. São estas o boost, a rotação e a translação.

Quando outro sistema K’ coincidindo com o sistema K inicial (no tempo t=0) se move com velocidade u com respeito a esse sistema teremos o boost.

Se uma rotação de um ângulo fixo é feita ao longo de qualquer eixo, considerando as origens dos sistemas coincidentes, a relação entre as coordenadas será dada pelo operador de rotação.

Se realizarmos uma translação no espaço e uma mudança na origem do tempo, teremos a operação de translação.

 

CONCLUSÃO:

Procuramos determinar, do ponto de vista algébrico, as equações de uma partícula e, assim, relacionarmos com a Teoria de Campos.

Concluímos que todo campo quântico possui spin, mesmo no caso não relativístico, e as representações espinoriais ganham importância no estudo da Mecânica Quântica. Assim, temos sistemas físicos não relativísticos com diferentes valores de spin.

Desenvolvemos um estudo da Mecânica Quântica Não-Relativística levando em conta os Princípios de Simetria, considerando o arcabouço do estudo das transformações de Galileo e do Grupo de Galileo gerado pelo conjunto de tais transformações, mais especificamente, a teoria das representações irredutíveis de tal grupo.

Pudemos notar que as três transformações de Galileo, operando juntas, dão uma outra transformação mais geral que reúne as três ao mesmo tempo. Para tanto, tomamos como sistema físico o caso das partículas de spin 0 e 1/2, descritas, respectivamente, pelas equações dinâmicas de Schrödinger e de Pauli, e cujas soluções, quando escritas de forma generalizada, constituem conjuntos de auto-vetores associados às representações das transformações galileanas do movimento e, conseqüentemente, ao Grupo de Galileo, denominadas representação escalar e representação espinorial.

 

Palavras-chave: Teoria de Grupos, Mecânica Quântica, Transformações de Galileo.