Existem várias formas de se resolver Equações Diferenciais. Uma técnica eficiente e que tem por essência a utilização da função exponencial, consiste no cálculo da matriz e^At, onde A é uma matriz de ordem n. A motivação para o estudo da exponencial de uma matriz, se verifica na sua aplicação imediata na solução de Sistemas de Equações Diferenciais. Em particular, aplicaremos esta técnica na solução de um problema físico de osciladores acoplados.

Neste trabalho foram fortemente utilizados métodos de álgebra linear e de análise.

A exponencial de uma matriz tA de ordem n pode ser obtida de várias maneiras distintas. Estamos interessados no estudo do limite de uma seqüência de matrizes e utilizaremos a idéia de convergência para definir uma matriz muito útil, dada pela soma de uma série infinita de matrizes. Uma vez que esteja bem definida a exponencial de uma matriz, nós poderemos usá-la para nos auxiliar na busca da solução da equação x’=ae^x, que é do tipo x= c₀e^tA, onde a e c₀ são constantes e c₀ é determinada pelo valor inicial do problema. Agora se estendermos o nosso estudo, podemos fazer uma analogia entre a equação x’=ae^x de solução x= c₀e^tA e o sistema de equações diferenciais com coeficientes constantes dado por X’=AX, onde A é a matriz de ordem n dos coeficientes do sistema, X é um vetor de dimensão n e X’ a sua derivada. Desta analogia, poderemos concluir que a solução do sistema é do tipo X=e^tAC₀.

No decorrer deste estudo, ao encontrarmos matrizes não diagonalizáveis, verificamos que o cálculo da exponencial ficava difícil. Para simplificarmos os procedimentos, inserimos o algoritmo de Putzer, como ferramenta para o cálculo de e^tA e que tem por base o teorema de Cayley-Hamilton. Por meio dos resultados obtidos e comparando-se os resultados da teoria de equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes com sistemas de equações do tipo X’=AX, concluímos que a função exponencial e a exponencial de matrizes caracterizam um método bastante eficaz na busca de solução para um sistema de equações diferenciais ordinárias e, em particular, para o problema de osciladores acoplados.