O estudo de estruturas em regime elástico é de fundamental importância no âmbito das verificações de serviço da edificação. Enquanto o dimensionamento é feito no regime plástico, a estrutura, em condições usuais, apresenta-se no comportamento elástico. As verificações de deformações, fissuração e vibrações devem ser realizadas considerando este último comportamento. Vibrações excessivas podem gerar desconforto ao usuário, inviabilidade de utilização para o fim ao qual a estrutura foi projetada e, em último caso, podem ocorrer problemas de fadiga, o que poderia levar a estrutura ao colapso. Desta forma, o estudo de fenômenos dinâmicos em vigas pode ser determinístico no dimensionamento das estruturas. O objetivo do presente trabalho é fazer a análise dinâmica de uma viga com equação de governo não-linear submetida a um carregamento instantâneo utilizando o método das diferenças finitas para discretização do domínio e os métodos de Newmark e Crank-Nicolson para o passo no tempo. O modelo utilizado para viga será o de deformações moderadas considerando ainda o deslocamento horizontal dos pontos da viga.

A equação de governo é descrita como EIw^iv - Rw’’ + ma = q, onde EI é a rigidez à flexão da viga, m é sua densidade linear, q é o carregamento instantâneo aplicado, R é a força axial e, para um ponto qualquer da viga, temos o deslocamento vertical w e a aceleração vertical a. A equação que relaciona os deslocamentos horizontais e verticais é R = EA(u’ + (w’)²/2), onde u é o deslocamento horizontal de um ponto qualquer da viga e EA é a sua rigidez à tração. As incógnitas w e u são funções da coordenada x ao longo do comprimento da viga e do tempo t. Considerando que os apoios de extremidade impedem o deslocamento horizontal, a reação R surgirá nos apoios e dependerá da deformada, instituindo a não-linearidade do problema. O sistema de equações assim obtido é discretizado pelo método das diferenças finitas e, para cada passo no tempo, o sistema não-linear resultante é resolvido pelo método de Newton, obtendo os valores de w e u para cada ponto do domínio discretizado. O passo no tempo é realizado pelos métodos de Newmark e de Crank-Nicolson, com a finalidade de compará-los. Todos os programas utilizados foram produzidos em compilador FORTRAN onde os passos no tempo foram testados com diversas malhas de diferenças finitas.

O exemplo testado consistiu em uma viga de aço com dois apoios de segundo gênero com 1000mm de comprimento, seção quadrada de 10mm de lado, módulo de elasticidade de E=2,1x10⁸ kN/m² e um carregamento instantâneo uniformemente distribuído de 0,1kN/m. As condições iniciais consistiram em considerar a viga com deformação nula em repouso. Os resultados, em geral, mostraram-se próximos da solução analítica. Para o método de Newmark, com passo no tempo de 10^-3s, os erros relativos foram da ordem de 0,2% para malha de diferenças finitas com 21 nós. Com uma malha de 41 nós, ou seja, com um custo computacional mais elevado, foram obtidos erros relativos da ordem de 0,07%. Para o método de Crank-Nicolson, a mesma ordem de grandeza dos erros foi obtida com o esforço computacional bem mais elevado, ou seja, com um passo no tempo da ordem de 10^-4s. Adicionalmente, cabe salientar que não houve problemas quanto à convergência dos métodos empregados considerando-se os passos de tempo adotados.

O método de diferenças finitas apresentou boa precisão para o caso estudado, sobretudo com a utilização de malhas mais refinadas. O método de Newmark mostrou-se mais eficiente, pois apresentou os mesmos resultados que o método de Crank-Nicolson com um esforço computacional inferior. O trabalho foi de grande valor não somente para o estudo de vibrações em vigas, mas também pela utilização do método das diferenças finitas em problemas transientes não-lineares e pela comparação dos métodos de passo no tempo. Este trabalho é apenas o início de uma série de estudos de comportamento dinâmico das estruturas. Tal pesquisa poderá evoluir para outros métodos numéricos, para os casos de pórticos, placas e cascas ou ainda considerando perturbações provenientes de abalos sísmicos ou ondas marítimas em estruturas offshore.