62ª Reunião Anual da SBPC

B. Engenharias - 1. Engenharia - 8. Engenharia Elétrica

ANÁLISE NUMÉRICA DE SINAIS E SISTEMAS NOS DOMÍNIOS DO TEMPO E DA FREQUÊNCIA - UMA APLICAÇÃO DIDÁTICA PARA O FILTRO RC PASSA-BAIXA

Eliel Poggi Dos Santos 1 Ícaro Bezerra Queiroz de Araújo 1 Rayann Pablo de Alencar Azevedo 1 Paulo Henrique da Fonseca Silva 2

1. Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Paraíba / IFPB 2. Prof. Dr./Orientador -Grupo de Telecomunicações e Eletromagnetismo Aplicado/IFPB

INTRODUÇÃO:

Um sistema pode ser definido como uma entidade que manipula um ou mais sinais para realizar uma função, gerando novos sinais, ou pode ser entendido com uma designação para um dado processo físico que evolui no tempo. Um sistema linear e invariante no tempo é um sistema que satisfaz ao princípio da superposição, com condições iniciais nulas. As descrições dos sinais de entrada e de saída do sistema dependem, naturalmente, da aplicação pretendida. Procurando apresentar de uma forma mais didática o estudo sobre a análise de sinais e sistemas, este trabalho descreve a modelagem do filtro RC passa-baixa, que resulta numa equação diferencial ordinária (EDO) descrevendo o comportamento do sistema no domínio do tempo. Tendo em vista a grande necessidade de estudá-lo também no domínio da freqüência, utilizou-se a Transformada de Fourier (TF) na descrição do comportamento deste sistema. Assim, a resposta do filtro RC passa-baixa é analisado nos domínios do tempo e da frequência para três tipos de sinais de entrada: um degrau unitário, um sinal senoidal e uma onda quadrada.

METODOLOGIA:

Inicialmente o modelo do circuito RC paralelo foi descrito, determinando-se o sinal de saída para um dado sinal de entrada. No tempo, a corrente que circula no circuito é proporcional à taxa de variação da tensão sobre o capacitor. A EDO que descreve o comportamento deste circuito é obtida a partir da Lei de Kirchhoff das tensões. Para análise no domínio da freqüência aplica-se a TF à equação diferencial encontrada. Em seguida, a resposta em freqüência deste circuito foi obtida através do cálculo de sua função de transferência. A função de transferência fornece uma caracterização útil e intuitiva do comportamento de entrada/saída do circuito a partir da qual se obtém a resposta ao impulso através de um par conhecido da TF. A fim de verificar os resultados numéricos obtidos para a resposta ao degrau unitário, ao seno e à onda quadrada, as respectivas soluções analíticas são obtidas. Para uma entrada do tipo degrau unitário a solução numérica da EDO que descreve o circuito no tempo é efetuada através do Método de Euler. A resposta ao seno é determinada através de uma propriedade dos sistemas lineares e invariantes no tempo. Para a obtenção da resposta do filtro RC passa-baixa à onda quadrada, este sinal de entrada é expresso como uma série de Fourier.

RESULTADOS:

Os resultados obtidos são apresentados através de gráficos obtidos com o uso do programa computacional Matlab® (Matriz Laboratory). A resposta em freqüência (função de transferência) e a resposta ao impulso do filtro RC passa-baixa foram computadas a partir de suas equações características. Na resposta ao degrau unitário observou-se uma boa concordância entre a solução numérica (Método de Euler, N=100 pontos) e a solução exata obtida através da solução analítica da EDO ou a partir da solução da integral de convolução associada. Com relação à resposta ao seno foi verificada a propriedade dos sistemas lineares e invariantes no tempo: a resposta a uma exponencial complexa é a mesma exponencial complexa com mudanças de amplitude e fase. A simulação da resposta à onda quadrada foi feita com base na aproximação deste sinal através de uma série de Fourier. Neste caso, sobrepondo-se num mesmo gráfico a resposta em freqüência do filtro RC passa-baixa e as componentes harmônicas da onda quadrada, é evidenciado o processo de filtragem das componentes harmônicas mais elevadas do sinal.

CONCLUSÃO:

Neste trabalho, foi abordada a análise numérica de sinais e sistemas nos domínios do tempo e da frequência através de uma aplicação didática voltada para o filtro RC passa-baixa. A utilização de modelos matemáticos e técnicas numéricas, tais como, as leis de Kirchhoff, equações diferenciais, integral de convolução, séries e transformadas de Fourier e o método de Euler, foram essenciais na descrição do comportamento do sistema nos domínios do tempo e da freqüência. A resposta do filtro RC passa-baixa é analisado nos domínios do tempo e da frequência para três tipos de sinais de entrada: um degrau unitário, um sinal senoidal e uma onda quadrada. As simulações computacionais foram realizadas através da implementação de algoritmos escritos em Matlab®. Através desta aplicação didática podemos verificar o comportamento do filtro RC passa-baixa quando submetido a diferentes tipos de entradas. As ferramentas de análise desenvolvidas podem ser utilizadas em sistemas lineares e invariantes no tempo com maiores complexidades. O caráter interdisciplinar deste trabalho pode ser útil ao ensino de disciplinas do curso de graduação em Engenharia Elétrica, tais como: métodos numéricos, sinais e sistemas e circuitos elétricos.

Instituição de Fomento: Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnológica da Paraíba - IFPB

Palavras-chave: Análise Numérica, Sinais e Sistemas, Filtro RC Passa-Baixa.