| A. Ciências Exatas e da Terra - 3. Física - 2. Ensino de Física |
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| SIMULAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE ONDA ELETROMAGNÉTICAS ATRAVÉS DAS EQUAÇÕES DE CONVECÇÃO |
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Felix René Arias Revollo 1
Marcio José Alves 1
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1. Depto.de Física, Ciências Exatas, Universidade Estadual de Londrina / UEL
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| INTRODUÇÃO: |
| A advecção é um mecanismo de difusão de qualquer forma de energia. Se u(x,t) é um campo escalar, o fluxo desse campo com velocidade constante v é descrito pela equação de advecção, que no caso unidimensional tem a forma: ∂u(x,t)/∂t= -v∂u(x,t)/∂x. As equações de onda que descrevem a propagação das ondas eletromagnéticas, ∂2f(x,t)/∂t2=c2∂2f(x,t)/∂x2 com f=Ey ou Bz, podem ser descritas através das equações de advecção. Com este objetivo a equação de onda foi separada em duas equações de advecção acopladas, para desta forma descrever a propagação das ondas eletromagnéticas numa dada região. Como exemplo usamos um pulso gaussiano inicial, f(x,0)=A exp[-100(x-0,5)2] e as condições iniciais f(0,t)=f(b,t)=0 em 0≤ x≤b onde A é a amplitude do pulso e b a largura da região de propagação. A simulação do processo de propagação dos campos é realizada usando o método de Lax, que é um método de integração das equações diferenciais. A simulação da propagação é mostrada através de gráficos dos campos elétrico, Ey, e magnético, Bz. Se tivermos paredes condutoras em x=0 e x=b, então os campos serão refletidos retornando. |
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| METODOLOGIA: |
| A equação de advecção descreve a propagação de um campo escalar u(x,t) com velocidade constante v, que no caso unidimensional escrevemos como: ∂u(x,t)/∂t= -v∂u(x,t)/∂x. A solução desta equação foi realizada através da simulação do processo usando dois métodos: i) pelo método das diferenças finitas centrais para a derivada espacial e as diferenças finitas progressivas para o tempo. Os resultados não foram muito satisfatórios. ii) Método de Lax, em que o termo ui,j do método anterior é substituído pela média espacial entre pontos vizinhos. No caso das ondas eletromagnéticas a equação de onda unidimensional ∂2f(x,t)/∂t2=c2∂2f(x,t)/∂x2, onde f(x,t)=Ey ou Bz, descreve a propagação dos campos elétrico e magnético. Introduzindo as variáveis Ey=∂f/∂t e Bz= -c∂f/∂x separamos a equação de onda em duas equações acopladas: ∂Ey/∂t= -c∂Bz/∂x e ∂Bz/∂t= -c∂Ey/∂x. A simulação da propagação dos campos usando o método de Lax resulta nos algoritmos: Ei,j+1=0,5[(Ei+1,j - Ei-1,j) - D(Bi+1,j - Bi-1,j)] e Bi,j+1=0,5[(Bi+1,j - Bi-1,j) - D(Ei+1,j - Ei-1,j)] onde D=0,5∆t/∆x. A condição de estabilidade das soluções impõe que D< 1 usamos D=0,5. |
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| RESULTADOS: |
| Como exemplo de aplicação do processo de propagação das ondas eletromagnéticas, tratamos com um pulso de onda gaussiano propagando-se no vácuo com velocidade c=1 ao longo do eixo x, numa região 0≤ x≤1 e com paredes perfeitamente condutoras em x=0 e x=1. Com um pulso inicial Ey=(x,0)=Bz(x,0)=exp[-100(x - 0,5)2] e as condições de contorno Ey(0,t)=Ey(1,t)=Bz(0,t)=Bz(1,t)=0. A simulação da propagação das ondas, ou seja, dos campos elétrico e magnético, foram representados em gráficos ao longo do eixo x. Os gráficos mostram que a amplitude do pulso cai conforme se propaga, ou seja, ela vai se espalhando no espaço. Quando a região é limitada por superfícies condutoras elas são refletidas retornando para a outra extremidade da região de propagação. |
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| CONCLUSÃO: |
| O uso das equações de advecção permite descrever a propagação das ondas eletromagnéticas, simulando o processo permite-nos a visualização da mesma, o que é muito prático para as aulas de eletromagnetismo na graduação que geralmente tem um caráter teórico. O único problema de separar as equações de onda em duas de advecção, é que elas estão acopladas e não são equações independentes para cada campo, o que dificulta um pouco a simulação do processo. De qualquer forma este método é uma nova forma de resolver uma equação diferencial em derivadas parciais de segunda ordem, e de visualizar o comportamento de cada campo. |
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| Instituição de Fomento: Universidade Estadual de Londrina - UEL |
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| Palavras-chave: Equação de onda, Simulação de propagação, Método de Lax. |