62ª Reunião Anual da SBPC

B. Engenharias - 1. Engenharia - 8. Engenharia Elétrica

MÉTODOS DE DISCRETIZAÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS UTILIZADOS EM SIMULAÇÃO DE DISPOSITIVOS SEMICONDUTORES

Celio Seixo de Brito Junior 1 Paulo César Miranda Machado 2

1. Escola de Engenharia Elétrica e de Computação, UFG 2. Prof.Dr./Orientador Escola de Engenharia Elétrica e de Computação, UFG

INTRODUÇÃO:

Atualmente, um dos mais importantes dispositivos eletrônicos utilizados é o Transistor de Efeito de Campo de Semicondutor e Metal - MESFET, com aplicações em eletrônica de alta velocidade, tais como sistemas de comunicações com satélites, telefonia celular, etc. A necessidade de reduzir o tempo e o custo do desenvolvimento de tais dispositivos tem levado a um crescente interesse em modelá-los e predizer o seu desempenho antes de sua fabricação. É necessário então desenvolver modelos físicos destes dispositivos que permitam a simulação numérica de sua operação para que possam ser projetados e fabricados com a precisão requerida. O Modelo Clássico, utilizado em sua simulação, consiste na resolução das equações diferenciais parciais de Poisson e da continuidade, que não podem ser resolvidas explicitamente. A solução, portanto, deve ser encontrada por métodos numéricos. Como não podemos obter soluções numéricas sobre uma região continua, devido aos infinitos pontos da mesma, inicialmente o domínio é discretizado, isto é, dividido em pontos e as equações diferenciais são discretizadas, levando à obtenção de sistemas matriciais de dimensões elevadas em que as incógnitas são as variáveis dependentes nos pontos discretos do domínio. A última tarefa é a solução desse sistema.

METODOLOGIA:

Dentre os métodos utilizados na discretização dessas equações destacam-se o Método das Diferenças Finitas (MDF), o Método dos Elementos Finitos (MEF) e o Método das Caixas Finitas (MCF). Cada um desses métodos discretizam as equações parciais de uma forma diferente gerando, portanto, cada um uma malha especifica. Para efeito de comparação e escolha do melhor método, primeiramente aplicamos todos eles no cálculo da distribuição do potencial eletrostático numa calha retangular e infinitamente longa. Nas bordas da calha foram consideradas as condições de Dirichlet (valor da função conhecido no contorno). Os resultados foram comparados e um método foi escolhido para resolver as equações de simulação de um MESFET. Neste trabalho consideramos um MESFET cujas dimensões são 350nm de comprimento, 90nm de altura e 10nm de largura. A dopagem considerada uniforme na camada dopada do dispositivo foi 1.0 x 〖10〗^24 m^(-3). Para a discretização das equações de Poisson e da continuidade a malha utilizada foi a malha quadrada, com dimensão de (2nmx2nm). Essa escolha foi devido às comparações dos resultados obtidos na aplicação de cada método na calha retangular e pela facilidade em sua implementação.

RESULTADOS:

Aplicando o MEF, o MCF e o MDF (malhas quadradas, retangulares uniformes e não-uniformes), foi possível obter a distribuição do potencial eletrostático na seção transversal da calha e as linhas equipotenciais. Assim, para cada método, foram calculados o tempo de processamento, a dimensão do sistema e o erro em relação à malha quadrada. Observou-se que o MCF permitiu a redução do número de pontos da malha, implicando na resolução de um sistema de equações de menor dimensão, gastando, portanto, um tempo menor na execução e com um erro máximo de 0,62% em relação à malha quadrada. Comparado com o MDF, o MCF é um método mais rápido, mantendo uma ótima precisão, porém a falta de simetria na discretização dificulta a geração da malha e do sistema de equações tornando sua implementação muito mais trabalhosa e extensa. O MEF possui uma maior precisão devida sua forma de discretização. O método escolhido foi o MDF com malhas quadradas devido à sua precisão e fácil implementação. Na discretização das equações do dispositivo foram obtidas as representações da distribuição do potencial eletrostático e da densidade eletrônica, a partir da qual foram feitas as análises das regiões que descrevem o comportamento e o funcionamento do dispositivo.

CONCLUSÃO:

Com base nos resultados obtidos na discretização das equações podemos concluir que: 1)O Método das Diferenças Finitas é muito utilizado na aplicação de simulação de dispositivos semicondutores devido à sua facilidade de implementação em domínios de geometria retangular; 2)O Método dos Elementos Finitos é extremamente poderoso, apesar de sua complexidade de implementação, no entanto é o mais adequado para domínios de geometria mais complexas; 3)O Método das Caixas Finitas, apesar de ser citado como um método poderoso na literatura especializada em simulação de dispositivos semicondutores, não teve a repercussão prevista e foi muito pouco utilizado nessa área de estudo. Um dos motivos que pode ser citado é a dificuldade na implementação de um programa eficiente na resolução de problemas referentes às equações parciais utilizando esse método. Utilizamos então as equações de Poisson e da continuidade discretizadas para a simulação de um MESFET. Observamos nos resultados obtidos a região de depleção na porta do dispositivo, verificamos, respectivamente, a grande e a baixa concentração de elétrons na camada dopada e no substrato, e constatamos uma concentração muito maior de elétrons nos contatos metálicos (fonte e dreno), como previsto.

Instituição de Fomento: Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico-CNPq

Palavras-chave: Discretização , Modelo Clássico , MESFET.