62ª Reunião Anual da SBPC

A. Ciências Exatas e da Terra - 5. Matemática - 3. Geometria e Topologia

COHOMOLOGIA DE GRUPOS FINITOS: APLICAÇÕES À ÁLGEBRA E À TOPOLOGIA

Maria Gorete Carreira Andrade 1 Marjory Del Vecchio dos Santos 1

1. Depto. de Matemática, IBILCE - UNESP - São José do Rio Preto - SP

INTRODUÇÃO:

A teoria de cohomologia de grupos surgiu através de estudos na álgebra e na topologia. O ponto de início para o aspecto topológico da teoria foi o trabalho de Hurewicz em 1936 sobre espaços asféricos, os seja, espaços X com grupo fundamental G e grupos de homotopia superiores nulos. Hurewicz mostrou, dentre outras coisas, que o tipo de homotopia de um espaço asférico X depende somente de seu grupo fundamental G e, em particular, os grupos de homologia de X dependem somente do grupo G. Por essa razão, a homologia de um grupo G é a homologia de qualquer espaço asférico X com grupo fundamental G. Em meados da década de 1940 foi dada uma definição puramente algébrica da homologia e cohomologia de um grupo, tornando-se claro que o assunto era de interesse, tanto de topólogos quanto de algebristas, oferecendo grandes possibilidades de interação entre as áreas. A teoria de cohomologia de grupos está intimamente relacionada à teoria de ações de grupos em espaços. Neste trabalho, usando essa teoria, particularmente quando G é um grupo finito, apresentamos alguns resultados em Álgebra e Topologia.

METODOLOGIA:

Para a realização do trabalho foi necessário o estudo de diversos resultados da teoria de grupos com cohomologia periódica, através da cohomologia de Tate. Vários pré-requisitos em Topologia Algébrica foram também necessários. Além da cohomologia absoluta de grupos, também foram utilizados resultados da teoria de cohomologia relativa de grupos, segundo Bieri e Eckmann e da teoria de CW-complexos, particularmente complexos K(G,1).

RESULTADOS:

Os principais resultados obtidos no trabalho são sobre ações de grupos finitos em esferas, complexos K(G,1) e variedades topológicas. Particularmente, se G é um grupo finito, mostramos, através da teoria de cohomologia, que um K(G,1) não pode ser uma variedade. Apresentamos também alguns resultados relacionando a ordem de um grupo G com a ordem de certos grupos de cohomologia e algumas aplicações na teoria de grupos finitos.

CONCLUSÃO:

A teoria de Cohomologia de Grupos é de interesse nas áreas de Álgebra e Topologia e, usando essa teoria, esse trabalho tem por objetivo apresentar algumas aplicações nessas duas áreas. Consideramos essa iteração entre as áreas bastante interessante, com obtenção de resultados geométricos através da Álgebra e de resultados algébricos através da Teoria de Cohomologia.

Instituição de Fomento: MEC - FNDE - CAPES

Palavras-chave: Cohomologia de Grupos, Ação de Grupos, CW-complexos.