63ª Reunião Anual da SBPC

A. Ciências Exatas e da Terra - 5. Matemática - 4. Matemática Aplicada

INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES MECÂNICAS

Douglas Duarte Novaes 1 Alberto Saa 1,2

1. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - UNICAMP 2. Prof. Dr./Orientador - Depto de Matemática Aplicada - UNICAMP

INTRODUÇÃO:

Apresentamos neste projeto a modelagem de um sistema massa-mola não engastado, composto de duas partículas conectadas entre si por uma mola e com liberdade de se moverem pelo plano, as variáveis relacionadas a este sistema são as coordenadas (x,y) de cada partícula, o que resulta em quatro graus de liberdade de movimento. Apesar da simplicidade conceitual, foram encontradas, na literatura pesquisada, poucas referências a problemas com este tipo de liberdade, fato este, motivador para analisarmos de forma sistemática as suas equações, sua dinâmica com relação à vibração e de que forma a liberdade de movimento, que as partículas podem realizar, influencia no modo normal de vibração do sistema.

METODOLOGIA:

Inicialmente, para possibilitar a modelagem do sistema, realizamos uma mudança de coordenadas e passamos a trabalhar com as variáveis: ângulo, posição de centro de massa e deformação da mola. Em seguida obtivemos a lagrangiana do sistema que juntamente com a equação de Euler-Lagrange nos forneceu quatro equações diferenciais: duas primeiras, independentes das demais, relacionadas ao movimento do cento de massa, e outras duas acopladas, relacionadas ao movimento angular e com a deformação da mola. Obtidas as equações, passamos a estudá-las. As soluções, para as equações independentes (movimento do centro de massa), foram obtidas, de maneira simples, utilizando teorias básicas de equações diferenciais. Realizando outra mudança de coordenadas foi possível desacoplar uma das equações restantes, a qual, quando linearizada nos fornece uma solução aproximada, considerando pequenas deformações da mola, para as duas últimas equações. Para a visualização da evolução do sistema, dados parâmetros e condições iniciais, foi utilizado o software MatLab.

RESULTADOS:

Obtidas as equações diferenciais que regem a evolução do sistema, podemos concluir que o movimento de translação é independente do movimento de rotação e do movimento de vibração do sistema, ou seja, independente do modo que as partículas estão se movimentando pelo plano, o centro de massa sempre efetuará um movimento uniforme. Considerando pequenas deformações da mola, obtivemos uma expressão para a frequência do modo normal de vibração do sistema, a qual é uma perturbação da expressão, também para pequenas deformações, da frequência do modo normal de vibração de um sistema massa-mola unidimensional simples. Fixado os parâmetros do sistema e analisando as soluções para as equações de movimento, pudemos estabelecer condições, sobre os valores iniciais das variáveis, para que o sistema efetue um movimento sem vibração. Tal feito é possível, quando a força elástica da mola se iguala com a força centrípeta.

CONCLUSÃO:

A pesquisa tinha por objetivo o estudo de como a liberdade de movimento das partículas, sobre o plano, influencia no modo normal de vibração do sistema. Tal liberdade é expressada pelas variáveis de translação, rotação e deformação. Concluímos que a translação das partículas, ao longo do tempo, descrita pelo movimento uniforme do centro de massa, não interfere no modo normal de vibração, porém, o movimento de rotação, que as partículas descrevem em torno do centro de massa, altera a frequência de vibração do sistema. Isso se deve ao fato de que o movimento de rotação induz o surgimento de uma força aplicada na direção radial da mola. Finalmente, conseguimos condições, sobre os valores iniciais, para que o sistema possa efetuar os movimentos de translação e rotação sem a presença de vibrações. Sobre esta última análise, pode ser mais interessante obter condições sobre os parâmetros físicos do sistema para que ele não vibre, tal estudo pode ser feito de forma análoga.

Palavras-chave: Sistemas Dinâmicos, Sistema Massa-Mola, Análise de Vibrações.