63ª Reunião Anual da SBPC

A. Ciências Exatas e da Terra - 5. Matemática - 3. Geometria e Topologia

DINÂMICA TOPOLÓGICA E APLICAÇÕES À TEORIA DOS NÚMEROS

Fernando Lucatelli Nunes 1 Mauro Moraes Alves Patrão 2

1. Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada 2. Prof Dr./Orientador - Depto. de Matemática, IE - Universidade de Brasília

INTRODUÇÃO:

No sentido clássico, um sistema dinâmico é um sistema de equações diferenciais com condições suficientes impostas para assegurar continuidade e unicidade das soluções. Dessa forma, o sistema dinâmico define um fluxo no espaço. Desde Poincaré, muitos resultados de interesse de sistemas dinâmicos foram obtidos sem a hipótese de que esse fluxo tenha vindo de equações diferenciais. A extensão desses resultados de fluxos para grupos de transformações mais gerais marcou o começo do desenvolvimento da teoria conhecida como “Dinâmica Topológica”. Desde então, a Dinâmica Topológica ampliou cada vez mais a sua área de aplicabilidade. Ela acabou, então, se revelando uma ferramenta bastante útil e poderosa na investigação de problemas de várias áreas da Matemática e, consequentemente, de áreas afins. Dentre as aplicações mais conhecidas, estão as aplicações em Análise Funcional, em Equações Diferenciais, em Topologia, em Teoria dos Números e em Combinatória. Este projeto de iniciação científica teve dois principais objetivos: introduzir o estudante nos conceitos de dinâmica topológica e divulgar esse assunto em nível introdutório. O trabalho todo foi motivado por aplicações em teoria dos números.

METODOLOGIA:

O projeto de Iniciação Científica foi desenvolvido mediante reuniões, discussões, e leituras de materiais bibliográficos relacionados ao assunto do projeto. Foram usadas algumas técnicas de argumentação desenvolvidas pelo matemático Hillel Fürstenberg para demonstrar, usando conceitos de Dinâmica Topológica, alguns teoremas clássicos de Teoria dos Números, em especial, de Aproximação Diofantina e Teoria de Ramsey. Por possibilitar um tratamento mais direto e não demandar a introdução de muitos conceitos, os teoremas escolhidos para a exposição de poster são de Aproximação Diofantina. O problema de aproximar números reais usando números racionais é o principal ponto dos resultados diofantinos que foram trabalhados no projeto. Um dos resultados mais conhecidos foi provado por Kronecker (1823-1891) há mais de 100 anos. Esse resultado foi posteriormente generalizado por Hardy (1877-1947) e Littlewood (1885-1977). Com uma construção de sistemas dinâmicos conhecida como produto cruzado, usando uma abordagem parecida com a feita por Fürstenberg, será demonstrada uma generalização desses dois teoremas.

RESULTADOS:

Foram quatro os principais resultados de Aproximação Diofantina e Teoria de Ramsey demonstrados usando Dinâmica Topológica: são eles Teorema de Van der Waerden, Teorema de Fürstenberg sobre aproximações polinomiais, Teorema de Kronecker e Teorema de Hardy Littlewood. As demonstrações desses resultados usando dinâmica se tornam mais concisas, simples e claras do que as demonstrações no contexto em que foram originalmente provadas. No caso dos teoremas de Aproximação Diofantina, provamos o resultado de Fürstenberg que generaliza os resultados de Aproximação Diofantina de Hardy-Littlewood e de Kronecker, provando um simples resultado sobre recorrência de Poincaré numa construção muito comum na área de sistemas dinâmicos: o produto cruzado. Como produto final da iniciação foi produzido, por parte do estudante, um material de divulgação do assunto em nível elementar. Esse material estará disponível na internet, na página http://teoriadelie.wordpress.com.

CONCLUSÃO:

Os projetos de iniciação científica na Matemática são especialmente importantes para o estudante ter contato com áreas mais próximas da pesquisa. Isso facilita a inserção desses estudantes na pós-graduação. Nesta iniciação, o trabalho foi sobre um assunto que não é apresentado em nível de graduação e fez ponte entre duas áreas da Matemática aparentemente não relacionadas. Isso proporcionou ao estudante uma visão mais ampla de algumas áreas da Matemática e mostrou como assuntos podem se interligar de forma inesperada nos proporcionando ferramentas poderosas para obter resultados importantes. Além disso, em particular, o trabalho deixou claro o potencial de aplicabilidade de resultados de Dinâmica Topológica. E, também, ilustrou a bem sucedida aplicação de Dinâmica em Teoria dos Números, pois, além de obtermos demonstrações mais concisas, simples e claras de teoremas antigos, essa aplicação é usada em pesquisa atual para obter novos importantes resultados em Teoria dos Números.

Palavras-chave: Dinâmica Topológica, Teoria de Ramsey, Aproximação Diofantina.