| A. Ciências Exatas e da Terra - 3. Física - 2. Ensino de Física |
|
| SIMULAÇÃO DO RESFRIAMENTO DE CORPOS CILÍNDRICOS (LEI DE NEWTON DO RESFRIAMENTO) |
|
Felix René Arias Revollo 1
|
|
1. Depto. De Física, Universidade Estadual de Londrina - UEL
|
|
| INTRODUÇÃO: |
| Muitos fenômenos físicos são descritos através de equações diferenciais em derivadas parciais. Mostra-se aos alunos de graduação o uso de outros métodos de solução destas equações, que não a analítica, para tanto usamos métodos numéricos. Resolvemos a equação de condução de calor e verificamos a lei de resfriamento de Newton, experiência realizada em sala de aula pelos alunos de graduação do Curso de Física, em que se usam metais da forma cilíndrica. O material é aquecido a temperaturas maiores que do meio ambiente e deixado a resfriar, medindo-se a temperatura do corpo com o tempo. Verifica-se experimentalmente um comportamento exponencial no resfriamento a partir da temperatura inicial. A descrição teórica faz-se através da equação de condução de calor e soluciona-se usando métodos numéricos. O modelo é de corpos metálicos com formato cilíndrico, e assumindo terem comprimentos muito grandes comparados com o raio R, e que a perda de calor através da sua superfície lateral é uniforme, e com as condições iniciais Tcorpo > Tambiente=Tf, e condições de contorno DrT(0,t)=0, -kDrT(R,t)=hT(T(R,t) – Tf). Os resultados, tanto experimental como teórico, são comparados e verificados através dos gráficos da temperatura do corpo com o tempo, para cilindros de alumínio e de bronze. |
|
| METODOLOGIA: |
| O fluxo de energia térmica de um sólido, para um meio que se encontra a uma temperatura menor que a do corpo, é descrita pela equação ucDtT=kD2T, onde D2=D2x+D2y+D2z são derivadas parciais em x,y e z, sem fontes de calor. Onde u é a densidade de massa, c o calor específico, k a condutividade térmica, T é a temperatura do corpo e t é o tempo. Em laboratório usam-se metais cilíndricos, e o modelo introduzido é de um cilindro muito longo comparado com o raio R e que a distribuição de temperatura é uniforme através da sua superfície lateral. E a equação de condução de calor se reduz a ucDtT(r,t)=k/rDr(rDrT(r,t)) com a condição inicial T(r,0)=To > Tambiente=Tf e exposto ao resfriamento, e as condições de contorno DrT(0,t)=0 e kDrT(R,t)=-hT(T(R,t)-Tf), hT é o coeficiente de transferência de calor. Resolve-se numericamente a equação usando o método das diferenças finitas, resultando em Ti,j+1=dr-2 dt[Ti+1,j(1+dr/2ri)+ Ti-1,j(1-dr/2ri)]+Ti,j(1-2dtdr-2). As condições inicial e de contorno se reduzem a Ti,1=1, T2,j=T1,j e Tn,j(1+hTRdr/k)=Tn-1,j, onde i,j correspondem as posições e tempos, respectivamente, do espaço e tempo discretizados em intervalos dr e dt. A simulação e análise do resfriamento de um corpo são realizadas calculando e pelos gráficos da temperatura com o tempo. |
|
| RESULTADOS: |
| Simulamos o resfriamento de um cilindro de alumínio de raio R=10 mm, que se encontra inicialmente à temperatura To= 65 oC e o meio ambiente a 25 oC; a condutividade térmica do alumínio é k=164 W/(m K) e o coeficiente de transferência de calor é hT=200 W/(m2K). Foram feitos gráficos da temperatura do corpo com o tempo calculados, e comparados com os dados obtidos pelos alunos de física básica durante uma experiência de verificação da lei de resfriamento de Newton usando esse material. Foram repetidos os cálculos para o caso de resfriamento de um cilindro de bronze, com To=65 oC e Tf=25 oC, assumimos neste caso hT=10 W/(m2K) já que a transferência de calor é muito lenta neste caso, k= 52 W/(m K), raio R=12,5 mm. Os resultados da simulação reproduzem os dados experimentais em ambos os casos. Ou seja, mostram o comportamento exponencial da lei de resfriamento de Newton verificado pelos alunos do curso de física. No caso do cilindro de bronze, por falta de conhecimento do valor do coeficiente de transferência de calor, hT, fomos escolhendo valores de forma a reproduzir a curva experimental, considerando que a transferência de calor observada em laboratório é muito lento daí a escolha de valores muito pequenos. |
|
| CONCLUSÃO: |
| O método numérico de solucionar uma equação diferencial em derivadas parciais é um método simples, comparado com os métodos matemáticos necessários para uma solução analítica do problema. Daí a vantagem de introduzir esses métodos nos cursos de graduação. O problema descrito é um exemplo de aplicação da teoria e da experimentação, e um incentivo para o aluno. O princípio da resolução numérica envolve tão somente a expansão em série de potências da função solução, que o aluno de graduação já tem conhecimento desde os primeiros anos do Curso de Física. O exemplo descrito, da reprodução teórica dos dados experimentais obtidos através do resfriamento com o tempo de um corpo aquecido até uma temperatura acima a do meio ambiente, lei de resfriamento de Newton, mostra para o aluno a construção do modelo matemático apropriado para resolver o problema e, mostra também o método alternativo de solucionar a equação resultante do modelo. |
|
|
| Palavras-chave: Simulação de resfriamento, Condução de calor, Sólidos cilíndricos. |