63ª Reunião Anual da SBPC

A. Ciências Exatas e da Terra - 5. Matemática - 5. Probabilidade e Estatística

EXPRESSÕES PARA CONTROLABILIDADE DE SISTEMAS LINEARES COM SALTOS MARKOVIANOS

Gabriela Pereira Ferraz 1 Telles Timóteo da Silva 2

1. Engenharia Química, Universidade Federal de São João Del-Rei - UFSJ 2. Prof. Dr./Orientador – Campus Alto Paraopeba - UFSJ

INTRODUÇÃO:

Sistemas lineares a tempo discreto com saltos Markovianos podem representar fenômenos sujeitos a falhas. Tais sistemas se comportam num modo de operação durante um certo intervalo de tempo, quando então, aleatoriamente, podem passar a operar num novo modo de operação, e assim sucessivamente. Para que o sistema atinja um objetivo desejado, faz-se necessária a especificação de um controle. Nesse trabalho serão analisados sistemas lineares unidimensionais a tempo discreto com finitos saltos Markovianos e serão calculadas expressões sobre seu controle. Serão também estudadas a esperança e a variância do estado desses sistemas. Por último, será investigado o tempo mínimo necessário para que esses sistemas possam ser controlados.

METODOLOGIA:

Foram estudados sistemas lineares, controlabilidade, processos estocásticos e resultados básicos de cadeias de Markov. Esses tópicos deram fundamento ao estudo de sistemas lineares com saltos Markovianos, que foi abordado com bibliografia especializada. Em especial, a propriedade de Markov, que está no cerne do problema, possibilitou obter resultados melhores.

RESULTADOS:

Considere uma equação linear unidimensional não-homogênea que descreve a evolução temporal do estado x de um dado fenômeno. O valor de x no tempo t+1 é dado pela seguinte adição de dois termos: no primeiro termo o valor de x no tempo t tem por coeficiente uma dentre n possíveis constantes, sendo que o valor do coeficiente no tempo t é determinado pelo estado de uma cadeia de Markov. O segundo termo, a parte não-homogênea, constitui-se do controle u no tempo t. Cada estado da cadeia de Markov determina, portanto, um modo de operação do sistema. Especifica-se então uma distribuição de probabilidade do valor do controle u a cada instante t de forma a se obter o controle exato do sistema, o que no problema estudado implica escolher o valor de u com o objetivo de fazer x no tempo t+1 ser igual a zero. A partir daí, é possível calcular expressões matemáticas para controlabilidade do sistema (esperança, variância e tempo de controle), notando-se que a propriedade markoviana é o que permite a obtenção de resultados mais claros e sintéticos.

CONCLUSÃO:

Neste trabalho foram feitas várias análises para sistemas lineares a tempo discreto com saltos Markovianos, obtendo resultados para seu controle. Foram utilizados apenas sistemas unidimensionais, mas esses resultados poderiam ser estendidos para sistemas multidimensionais. No caso trabalhado, supôs-se que as cadeias de Markov envolvidas possuíam n estados, o que poderia ser estendido ainda para o caso com infinitos estados enumeráveis, ou não-enumeráveis, complicando sensivelmente o problema. Pode-se estudar, também, o caso em que a cadeia é estacionária. Outras propriedades desses sistemas discretos poderão ser avaliadas através de aproximação por difusão, em vista de termos as expressões da esperança e da variância do sistema. A estimativa do coeficiente de x no caso trabalhado não dependia dos valores anteriores da cadeia de Markov, mas outro modo de se escolher o controle u poderia ser ao se olhar o estado anterior da cadeia. Portanto, vários problemas ainda precisam ser formulados matematicamente e suas soluções podem depender de abordagens inovadoras.

Palavras-chave: Sistemas lineares, Controlabilidade, Cadeias de Markov.