63ª Reunião Anual da SBPC

B. Engenharias - 1. Engenharia - 8. Engenharia Elétrica

MÉTODOS NUMÉRICOS BASEADOS EM DIFERENÇAS FINITAS APLICADOS A PROBLEMAS ELETROSTÁTICOS E ELETRODINÂMICOS

Rayann Pablo de Alencar Azevedo 1 Eliel Poggi dos Santos 1 Paulo Henrique da Fonseca Silva 2

1. Instituto de Educação, Ciência e Tecnologia da Paraíba / IFPB 2. Prof. Dr./Orientador - Instituto de Educação, Ciência e Tecnologia da Paraíba

INTRODUÇÃO:

Este trabalho aborda aplicações da Análise Numérica na área da Engenharia Elétrica e de Telecomunicações, especificamente na utilização do Método das Diferenças Finitas (FDM) e do Método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo (FDTD). O FDM é aplicado na solução de equações diferenciais parciais em problemas eletrostáticos, que envolve soluções de equações de Laplace e Poisson, enquanto o método FDTD é aplicado na solução de problemas eletrodinâmicos envolvendo soluções das equações de Maxwell em sua forma diferencial. São apresentadas também soluções de alguns problemas didáticos utilizando FDM e FDTD. Em particular, quatro exemplos de aplicação são abordados neste trabalho. No primeiro problema estudado, trata-se da análise de distribuição do potencial elétrico e do campo elétrico numa linha de transmissão em microfita do tipo stripline. O segundo problema apresentado consiste na simulação do comportamento da propagação de um campo elétrico do vácuo para um plasma desmagnetizado. O terceiro trata-se da análise do comportamento de uma onda plana que se propaga no espaço livre e choca-se com um cilindro dielétrico. E por fim, o quarto problema consiste na simulação análise do comportamento de propagação de uma onda plana, após passar por uma fenda em uma barreira metálica.

METODOLOGIA:

Neste trabalho, primeiramente foi feita uma revisão bibliográfica dos métodos: Diferenças Finitas e Diferenças Finitas no Domínio do Tempo. Nesta primeira etapa foram feitas deduções da formulação de tais métodos. Depois partimos para a formulação matemática de algumas situações escolhidas. Com isso, foram realizadas as simulações de algumas aplicações. Com os valores obtidos numericamente e teoricamente, são feitas análises de erros por meio de comparação. As simulações computacionais foram realizadas com auxílio do programa MATLAB®, o qual se trata de um ambiente de programação que utiliza linguagem de alto nível bem apropriada para o desenvolvimento de algoritmos numéricos e visualização gráfica de resultados.

RESULTADOS:

No primeiro problema, foi abordada a análise do campo elétrico e da distribuição do potencial elétrico para uma estrutura stripline. Nesse caso, tais parâmetros seguem equações diferenciais parciais que foram resolvidas pelo FDM, obtendo uma excelente aproximação. Já no segundo, foi usado o FDTD unidimensional. Para a facilitação da obtenção da fórmula da permissividade no domínio do tempo, foi utilizada a Transformada de Fourier. Assim, de forma didática, se observou que um plasma desmagnetizado apresenta características diferentes, quanto à sua transparência, dependendo da frequência da onda eletromagnética. Na terceira situação analisada foi utilizado o método FDTD com a condição de contorno PML (Perfect Matched Layer) e a formulação de campo espalhado (TFSF – Total Field Scattered Field). O uso da camada perfeitamente absorvedora evita que a solução seja influenciada por reflexões nas extremidades da malha FDTD. Através de tal simulação, foi visualizado o comportamento eletromagnético para a propagação de uma onda plana na forma de um pulso Gaussiano ao atingir um cilindro dielétrico. Enfim, foi analisado o comportamento de propagação de uma onda plana atravessando uma fenda em uma barreira metálica. Nesse exemplo apresentado utilizou-se a mesma técnica FDTD/PML.

CONCLUSÃO:

Neste trabalho, a Análise Numérica foi aplicada de forma didática na área da Engenharia Elétrica. Em particular, foram solucionados problemas de eletromagnetismo, tanto na forma estática quanto na forma dinâmica, envolvendo resoluções de equações diferenciais parciais. Para os exemplos abordados, a análise de erros foi feita a partir da comparação dos resultados obtidos com os métodos FDM e FDTD, com seus respectivos resultados teóricos obtidos por meio de desenvolvimento analítico ou por meio de pesquisa na literatura. As simulações computacionais foram realizadas através da implementação de algoritmos escritos em MATLAB®. Verificou-se através de análises de erros que as respostas numéricas convergem para as soluções exatas. Com base nos resultados obtidos, foi verificada a importância da utilização de métodos numéricos para a obtenção de soluções de equações diferenciais parciais, especificamente em problemas eletrostáticos e eletrodinâmicos, a medida que a solução analítica torna-se mais complexa ou até mesmo impossível de se obter.

Palavras-chave: Método das Diferenças Finitas, Método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo, Equações Diferenciais Parciais.