63ª Reunião Anual da SBPC

A. Ciências Exatas e da Terra - 5. Matemática - 3. Geometria e Topologia

Geometrias clássicas

Filipe Biason Mussini 1 Daniel Miranda Machado 2

1. Centro de Matemática, Computação e Cognição - UFABC 2. Prof. Dr./ Orientador - Centro de Matemática, Computação e Cognição - UFABC

INTRODUÇÃO:

As geometrias clássicas são variedades riemmanianas obtidas a partir da projetivização de espaços vetoriais dotados de uma forma bilinear. São exemplos de geometrias que podem ser obtidas dessa forma as geometrias hiperbólica real e complexa e os espaços de de Sitter. A abordagem desses espaços via projetivização apresenta diversas vantagens em relação a abordagem usual, pois os objetos estudados são tratados de forma linear e sem coordenadas. Nesse trabalho caracterizamos diversas propriedades dessas geometrias, dentre estas: as geodésicas, a conexão, o tensor de curvatura e a curvatura escalar.

METODOLOGIA:

Método axiomático.

RESULTADOS:

Dado um espaço vetorial V e um corpo K (complexo ou real), e dois vetores v e w definimos uma relação de equivalência ~ em V{0} como: v~w se e somente se existe λ diferente de zero em K tal que λ v = w Chamamos o espaço quociente PKV := V{0}/~ de plano projetivo de V sobre K. Dado um ponto p não isotrópico, temos que o espaço tangente ao plano projetivo de V sobre K no ponto p é isomorfo ao conjunto das transformações lineares de Kp em V/Kp. Defindo um produto interno neste espaço, temos que uma geometria clássica é um espaço vetorial V sobre um corpo K, escolhida uma assinatura e um sinal na forma bilinear. Com estes conceitos, encontramos fórmulas simples para encontrar a conexão, o tensor de curvatura e a curvatura seccional. Em particular, provamos o seguinte teorema: Teorema: Uma geodésica em PKV é a projetivização de um subespaço W de V bidimensional tal que a forma bilinear restrita a W é não degenerada.

CONCLUSÃO:

A abordagem das geometrias clássicas possibilita o tratamento unificado de diversas geometrias riemannnnianas e pseudo-riemannnnianas de forma simultânea. Através da descrição projetiva obtivemos expressões e descrições para diversas grandezas geométricas importantes, dentre estas: a conexão, o tensor de curvatura, a curvatura seccional, e as geodésicas. Para todos esses objetos a descrição final obtida é elementar, e em particular no caso das geodésicas essa descrição é linear.

Palavras-chave: Geometria hiperbólica real, Geometria hiperbólica complexa, Geometria Riemanniana.