63ª Reunião Anual da SBPC

A. Ciências Exatas e da Terra - 5. Matemática - 3. Geometria e Topologia

Campos Vetoriais Reversíveis no Plano

Kamila da Silva Andrade 1 João Carlos da Rocha Medrado 2

1. Instituto de Matemática e Estatística - UFG 2. Prof. Dr./ Orientador - Instituto de Matemática e Estatística - UFG

INTRODUÇÃO:

Consideremos no espaço de campos vetoriais definidos em R2 o conjunto &Omega composto pelos germes de campos de vetores Cr- reversíveis em 0 de R2 com a topologia Cr, r maior que 3. Dizemos que o campo de vetores X é &varphi-reversível do tipo (2,1) se D&varphi (p).X(p) = -X(&varphi (p)) para p em R2 ,0, onde &varphi é uma involução e a dimensão do conjunto dos pontos fixo da involução é igual a um. Estudamos bifurcações genéricas de campos vetoriais reversíveis definidos no plano, ao redor de um ponto singular simétrico.

METODOLOGIA:

A técnica do estudo consiste em primeiro mudarmos as coordenadas ao redor da singularidade simétrica e então estudamos o contato entre as órbitas do campo vetorial e a subvariedade do R2 dada pelos pontos fixos da involução &varphi. Descrevemos o comportamento dessas singularidades estabelecendo uma relação com as singularidades que originam do contato entre o campo de vetores e a curva simétrica original. A principal razão de usar esta técnica é que a teoria de contatos fornece poderosas ferramentas geométricas. Observamos ainda que este método também pode ser utilizado para campos vetoriais definidos em variedades em dimensões mais altas.

RESULTADOS:

Apresentamos todos os diferentes tipos topológicos de singularidades simétricas no plano de campos de vetores de codimensão 0, 1 e 2, suas formas normais, seus respectivos desdobramentos e portanto, uma completa lista de modelos topológicos para todas famílias a dois parâmetros de campos vetoriais reversíveis. Apresentamos ainda os retratos de fase destes campos em seus diagramas de bifurcação.

CONCLUSÃO:

Neste artigo estudamos os campos vetoriais reversíveis do tipo (2,1) seguindo o Programa de Thom-Smale. Neste contexto, estudamos todas as bifurcações até codimensão dois de forma completa. As técnicas aqui utilizadas e desenvolvidas, permitem a continuidade deste estudo a codimensões maiores, mas dependendo sempre do avanço da Teoria de Sigularidades, que é utilizado em todos os casos onde há tangências.

Palavras-chave: Reversíveis, involução, codimensão.