63ª Reunião Anual da SBPC

A. Ciências Exatas e da Terra - 5. Matemática - 3. Geometria e Topologia

GRUPÓIDES NA TOPOLOGIA

Fernando Lucatelli Nunes 1

1. Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada

INTRODUÇÃO:

Uma das áreas da Matemática em que estruturas não-abelianas se revelam muito importantes é Topologia Algébrica. Um exemplo dessas estruturas é o grupóide. Na topologia algébrica, a estrutura de grupóide foi primeiramente usada em teoria de homotopia de dimensão 1. A saber, o grupóide fundamental pode ser visto como uma “generalização” do grupo fundamental (muitas vezes, não-abeliano). De fato, o grupóide fundamental tem várias vantagens sobre o grupo fundamental. Com esse uso bem sucedido de grupóides em teoria de homotopia de dimensão 1, há pesquisa em várias direções na busca de uma boa implementação do conceito de grupóide em teoria de homotopia com dimensão mais alta. Esse trabalho visa a introduzir, divulgar e motivar o estudo de grupóides em topologia, apresentando a clareza com que é expressada a teoria básica de grupos fundamentais ao se fazer uso do conceito de grupóides fundamentais.

METODOLOGIA:

A principal referência para consultas e confecção desse trabalho foi o livro “Topology and Grupoids” do professor Ronald Brown. No entanto, nessa referência, o grupóide fundamental de um espaço é definido com algum “subconjunto base”. No presente trabalho, o grupóide é encarado como sendo uma categoria pequena na qual todos os morfismos são equivalências. E, durante todo o trabalho, o grupóide fundamental foi definido da forma usual (sem ponto nem subconjunto base): o grupóide fundamental é a categoria na qual os objetos são os pontos do espaço e os morfismos são as classes de homotopia de caminhos. A teoria básica de grupos fundamentais foi revisitada usando-se grupóides fundamentais. Os principais resultados provados foram propriedades functoriais dos grupóides na categoria de homotopia, teorema de Van Kampen para grupóides e teoria de recobrimento com grupóides.

RESULTADOS:

O functor grupóide fundamental é, primeiramente, definido na categoria dos espaços topológicos. E, diferentemente do functor grupo fundamental, a invariância por tipo de homotopia é inferida da fatoração do functor grupóide fundamental, sendo definida na categoria de homotopia. A versão do teorema de Van Kampen para grupóides fundamentais diz que o grupóide fundamental de um espaço é o colimite dos grupóides fundamentais de abertos do espaço (satisfazendo certas hipóteses). Essa versão, além de ter uma demonstração razoavelmente simples e de inferir de forma elegante e simples a versão para grupos fundamentais, potencializa o uso do teorema para Van Kampen: podendo ser usado, com apoio de alguns lemas básicos de combinatória em grupóides, para calcular o grupo fundamental do círculo. A teoria de recobrimento de grupóides possui demonstrações elegantes e simples. No fim, o functor grupóide fundamental induz uma equivalência entre as categorias de recobrimentos de um espaço e a categoria de recobrimentos do seu grupóide fundamental, o que diz que teoria de recobrimento de grupóides descreve totalmente a teoria básica de recobrimento de espaços.

CONCLUSÃO:

A teoria de grupos fundamentais é bem mais facilmente descrita ao se fazer uso dos grupóides fundamentais. Além da teoria se tornar mais elegante, obtemos uma visão mais clara de quais passagens dos argumentos dependem de topologia e quais passagens são formalismo ou álgebra. Argumentos de esqueleto de categorias e de equivalências por Morita nos deram, ainda, uma facilidade de transitar entre grupos e grupóides fundamentais. Por outro lado, o grupóide fundamental potencializou alguns teoremas, como o teorema de Van Kampen, nos dando vantagens computacionais: um exemplo é o cálculo do grupo fundamental do círculo via Van Kampen, o que não é possível apenas com a versão de grupos fundamentais. Depois da breve revisitação, ficou claro que os grupóides dão vantagem computacional e teórica à teoria básica de grupos fundamentais e, então, fica claro um dos vários motivos para o otimismo da pesquisa em busca da implementação de grupóides e outras estruturas não-abelianas em teoria de homotopia de dimensão mais alta.

Palavras-chave: Topologia Algébrica, Grupo Fundamental, Grupóide Fundamental.