63ª Reunião Anual da SBPC

B. Engenharias - 1. Engenharia - 8. Engenharia Elétrica

A UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DE DIFERENÇAS FINITAS PARA SOLUCIONAR PROBLEMAS DE ENGENHARIA COM A UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE MATLAB

Renan Landau Paiva de Medeiros 1 André Vinicius de Souza Lages 1 Ivanes Lian Costa Araújo 1 Daiyuki Maia Fujiyoshi 1 Nilton Rodolfo Nascimento Melo Rodrigues 1 Orlando Fonseca Silva 2

1. Instituto de Tecnologia, Faculdade de Engenharia Elétrica, Universidade Federal do Pará – ITEC/FEE/UFPA 2. Prof. Dr./Orientador - ITEC/FEE/UFPA

INTRODUÇÃO:

O método numérico das diferenças finitas é amplamente utilizado nas áreas de engenharia, pois visa solucionar problemas físicos que são definidos matematicamente através de equações com derivadas parciais tais como as equações de Laplace e Poisson. Nestes casos, tem-se a necessidade da delimitação de um domínio, além da especificação de condições de contorno e/ou condições iniciais. Como uma grande diversidade de áreas do conhecimento possuem problemas reais, cuja formulação recai em equações com derivadas parciais, dentre as quais tem-se, por exemplo: eletromagnetismo, eletrodinâmica, telecomunicações, modelagem sísmica, modelagem de fluidos compressíveis, e outras; o método numérico das diferenças finitas adquire grande interesse prático na solução de Equações a Derivadas Parciais, visando, além de precisão nos resultados, uma maior flexibilidade do código computacional para adaptação a possíveis variações.

METODOLOGIA:

A metodologia aplicada para o desenvolvimento deste trabalho é desenvolvida em 4 etapas: definição do problema, modelagem matemática, resolução numérica e análise de erro. Para demonstrar a eficácia do método das diferenças finitas utilizamos um problema de condução de calor. A definição do problema consiste em determinar as informações primordiais para o desenvolvimento do estudo. Nessa etapa, definem-se as características e as condições de contorno do meio a serem analisadas. Na segunda etapa, modelou-se matematicamente o problema através da equação de calor de Fourier e fez-se a interpretação dos dados fornecidos na definição do problema, ou seja, nesta etapa foram aplicadas as condições de contorno no modelo matemático. Em seguida, foi realizada a resolução numérica, que constitui na aplicação do método numérico. Deste modo, foi feita a implementação computacional com o programa MATLAB, que é baseado numa linguagem de alto nível, possibilitando, assim, o desenvolvimento do algoritmo numérico e a visualização de resultados com um bom desempenho e rapidez. Enfim, a análise dos erros consiste na comparação de respostas teóricas obtidas na bibliografia pesquisada, com os resultados numéricos obtidos através do método numérico utilizado.

RESULTADOS:

Neste trabalho foi analisada a condução de calor numa barra infinita de seção transversal quadrada submetida a diferentes temperaturas em cada uma de suas extremidades. Com o auxilio do método numérico FDM (Finite Diference Method), foi possível estudar o perfil de temperatura no interior da barra. Inicialmente utilizamos a equação de Fourier para definir fisicamente o problema. Posteriormente, considerando as singularidades do mesmo e do meio em que está inserido e, levando em consideração que a condução de calor se dá em regime estacionário e sem geração interna de energia, simplificou-se a equação de Fourier para a equação de Laplace. Em seguida, utilizou-se a série de Taylor para reescrever a equação de Laplace como uma equação de recorrência. Depois, no ambiente MATLAB, elaborou-se um programa que permitisse mostrar graficamente e em forma matricial o perfil de temperatura da barra. Com o auxilio gráfico foi possível visualizar que o perfil de temperatura obedece à teoria da condução de calor, pois seus pontos mais quentes estão próximos das extremidades de maior temperatura. Com isso, percebe-se visualmente a propagação do calor em direção aos pontos de menor temperatura.

CONCLUSÃO:

Nesse trabalho foi mostrada a eficácia da utilização do método das diferenças finitas para resolver problemas físicos que são modelados por equações com derivadas parciais. Sendo que, utilizamos a condução de calor como exemplo de aplicação e obtemos perfis de temperatura de acordo com a teoria da condução de calor e resultados da bibliografia consultada. O FDM também possibilitou a criação de um gráfico claro que melhora a visualização e a compreensão do fenômeno físico usado como exemplo. Portanto verificou-se que o FDM é uma poderosa ferramenta matemática útil para resolver problemas onde a solução analítica seria muito complicada.

Palavras-chave: Condução de calor, Equações com Derivadas Parciais, Método das Diferenças Finitas.