63ª Reunião Anual da SBPC

A. Ciências Exatas e da Terra - 5. Matemática - 2. Análise

INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DINÂMICOS DISCRETOS

Lorena Fernandes de Assis 1 Wallysonn Alves de Souza 2

1. Discente - Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Goiás/ Campus Jataí 2. Prof. Me / Orientador - Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Goiás/ Campus Jataí

INTRODUÇÃO:

O conceito de sistema dinâmico nasce da exigência de construir um modelo geral de todos os sistemas que evoluem segundo uma regra que liga o estado presente ao estado inicial. Matematicamente, diz-se que um sistema dinâmico é uma família a um parâmetro (em geral o tempo) de mapeamentos de um espaço abstrato (o conjunto de estados) para si mesmo. Quando tal família, a um parâmetro, é parametrizada no conjunto dos números inteiros ou naturais, tem-se um sistema dinâmico discreto. O problema de determinar o comportamento de iteradas de uma função aparece frequentemente em estudos naturais. Uma área particular é o estudo de dinâmica de população. Este está relacionando à modelagem de populações em que o número de indivíduos de uma coleção de organismos, está em função do tempo. Neste artigo estudou unicamente os sistemas dinâmicos discretos. Em particular, algumas propriedades dinâmicas da equação diferença: x(n+1)=f(x(n)); sendo f as aplicações conhecidas como: tenda, logística e de rotação. Essas três funções, apesar da forma simples que são colocadas, escondem dinâmicas interessantes; dinâmicas essas que deram origem e contribuíram de forma significativa para o desenvolvimento dos sistemas dinâmicos e teoria do Caos, que são áreas da Matemática que estão em grande desenvolvimento.

METODOLOGIA:

Este trabalho seguiu a linha de (HOLMGREN, 1996), ou seja, (HOLMGREN, Richard A. A First Course in Discrete Dynamical Systems. 2. ed. New York: Springer, 1996.). Inicialmente foi feito um estudo das propriedades básicas de sistemas dinâmicos discretos e posteriormente o estudo de algumas propriedades dinâmicas das funções Tenda, Logística e da Aplicação de rotação e algumas relações existentes entre elas.

RESULTADOS:

Para o desenvolvimento do artigo foram definidas e demonstradas algumas propriedades das aplicações: Logística: f(x)=rx(1-x) com x em [0,1] e r em [0,4]; Tenda: g(x)=2x, se x pertence a [0,1/2] e g(x)=2-2x, se x pertence a [1/2,1] e Rotação: Ra(x)=(x+a)(mod 1) com x em [0,1] e a o ângulo de rotação. Para estabecer algumas relações entre tais funções, foi estudado o conceito de conjugação topológica e os seguintes resultados: Definição 1 (Devaney) Uma função f:D-->R, sendo D um subconjunto dos reais, é caótica se: i) os pontos periódicos de f são densos em D; ii) f é topologicamente transitiva; iii) f apresenta dependência sensível sobre condições iniciais. Teorema 1 Sejam D e E subconjuntos dos números reais, f:D-->D e g:E-->E e t:D-->E uma conjugação topológica entre f e g. Então, i) p é um ponto periódico de f se, e somente se, t(p) é um ponto periódico de g. E mais, o período primo de p e t(p) são idênticos; ii) os pontos periódicos de f são densos em D se e somente se os pontos periódicos de g são densos em E; iii) f é topologicamente transitiva em D se, e somente se, g é topologicamente transitiva em E; iv) f é caótica em D se, e somente se, g é caótica em E. Teorema 2 A função logística (com r=4) e a função tenda g são topologicamente conjugadas por t(x)=-0.5*cos(2pi*x)+0.5=sen2(pi*x). Como é possível mostrar que a função tenda é caótica, o Teorema 2 garante que a função logística também é.

CONCLUSÃO:

Neste trabalho foi realizado um estudo introdutório sobre sistemas dinâmicos discretos seguido a linha de (HOLMGREN, 1996). Inicialmente definiu-se sistemas dinâmicos discretos e alguns conceitos básicos, necessários para se fazer um estudo introdutório da função tenda, logística e a função rotação. Também foi feito um estudo sobre conjugação topológica, e neste estudo pode-se perceber a importância dessa ferramenta em sistemas dinâmicos. Percebeu-se que se temos dois sistemas dinâmicos, que são topologicamente conjugados, podemos escolher o que é mais fácil de trabalhar, e demonstrar as propriedades que se deseja e automaticamente essas propriedades são válidas para o outro sistema, por serem conjugados. E foi isso que foi feito com a função tenda e logística, mostrou que a função tenda é topologicamente conjugada à logística e como a tenda é caótica concluiu-se que a logística também é caótica para . Inicialmente, esperava-se encontrar relações entre a função rotação, tenda e logística, mas isso não foi possível, o que não significa que não exista.

Palavras-chave: Sistemas Dinâmicos Discretos, Função Logística, Caos.