63ª Reunião Anual da SBPC

A. Ciências Exatas e da Terra - 5. Matemática - 3. Geometria e Topologia

A ESTRUTURA DO GRUPO FUNDAMENTAL DAS SUPERFÍCIES COMPACTAS

Rafaella de Souza Martins 1 Ermínia de Lourdes Campello Fanti 1,2

1. Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho-IBILCE 2. Profa. Dra.Depto. de Matemática, IBILCE-UNESP

INTRODUÇÃO:

Uma variedade bidimensional ou superfície (sem bordo) é um espaço topológico Hausdorff M que tem as mesmas propriedades locais do plano da Geometria euclidiana, pois cada ponto de M tem uma vizinhança aberta homeomorfa ao disco aberto do R2 , com centro na origem e raio 1. São exemplos de superfícies, a esfera, o toro, o plano projetivo, a garrafa de Klein. O conceito de grupo fundamental é devido ao matemático francês Henri Poincaré. Brevemente, o grupo fundamental de um espaço X com ponto base num elemento x de X é o conjunto quociente do conjunto de todos os caminhos fechados em X, com ponto base x, módulo a relação de equivalência de homotopia de caminhos, com a operação induzida da justaposição de caminhos. Ele reflete de certo modo, a estrutura geométrica de X. O objetivo deste trabalho é determinar a estrutura do grupo fundamental das superfícies compactas (fechadas).

METODOLOGIA:

O desenvolvimento do trabalho exigiu conhecimentos básicos de Álgebra (Teoria dos Grupos) e de Topologia. Além disso, foi realizado estudo de certos grupos especiais, os grupos livres, produto livre, apresentação de um grupo e produto livre amalgamado; estudo sobre homotopia; superfícies; somas conexas e o grupo fundamental. Destacamos ainda o estudo do Teorema de van Kampen, que exprime a estrutura do grupo fundamental de um espaço topológico X em termos dos grupos fundamentais de subespaços abertos W e V, conexos por caminhos, que cobrem X, isto é tais que X = WUV. Tal trabalho foi desenvolvido através de pesquisas bibliográficas, estudos individuais utilizando bibliografia específica e complementar, seminários e discussões semanais com a orientadora.

RESULTADOS:

Apresentamos aqui apenas alguns dos resultados que fazem parte do trabalho. O Teorema de classificação das superfícies compactas: Qualquer superfície conexa e compacta é homeomorfa a esfera, ou a uma soma conexa de toros, ou a uma soma conexa de planos projetivos. Um caso particular do Teorema de van Kampen: Sejam X um espaço topológico, W, V e Y (a interseção de W e V) subconjuntos abertos de X, conexos por caminhos, X = WUV, e f e g os homomorfismos induzidos, no grupo fundamental, pelas inclusões de W em X e Y em W, respectivamente. Se V é simplesmente conexo então f é um epimorfismo e seu núcleo N é o menor subgrupo normal do grupo fundamental de W contendo a imagem, por g, do grupo fundamental de Y no grupo fundamental de W. E a caracterização dos grupos fundamentais das superfícies compactas (a menos de homeomorfismos): Seja M uma superfície conexa e compacta. Se M é a esfera então o grupo fundamental de M é o trivial, se M é a soma conexa de n-toros então o grupo fundamental tem uma apresentação com 2n geradores a1,b1,...,an,bn e a relação dada pelo produto dos elementos aibiai-1bi-1, i=1,...n.; e se é a soma conexa de n-planos projetivos então o grupo tem uma apresentação com n geradores a1,...,an, e a relação (a1)2...(an)2.

CONCLUSÃO:

O trabalho possibilitou um contato com tópicos importantes da Topologia Algébrica, explorando uma interessante conexão entre a Álgebra e Geometria. Foi possível ver claramente, como o Teorema de van Kampen se aplica para a obtenção do grupo fundamental das superfícies fechadas. Conhecendo-se o grupo fundamental das superfícies fechadas pode-se concluir, por exemplo, que a soma conexa de m-planos projetivos e de n-planos projetivos, com m diferente de n, m e n inteiros positivos, não tem o mesmo tipo de homotopia, e que superfícies compactas orientáveis não tem o mesmo tipo de homotopia de superfícies compactas não orientáveis.

Palavras-chave: Superfícies fechadas, Teorema de van Kampen, Grupo Fundamental.