63ª Reunião Anual da SBPC

A. Ciências Exatas e da Terra - 5. Matemática - 2. Análise

TRANSFORMADA DE LAPLACE E A SUA APLICAÇÃO NA SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Léo César Parente de Almeida 1

1. Programa de Matemática, Universidade Federal do Oeste do Pará - UFOPA

INTRODUÇÃO:

Existem várias técnicas que podem ser utilizadas para a resolução de Equações Diferenciais. Neste trabalho, estudamos as chamadas Transformadas Integrais e a sua aplicação para a solução de tais equações provenientes dos mais variados problemas da Física Matemática. As transformadas integrais são aplicáveis quando dispomos de um problema relacionado a uma equação diferencial ordinária ou parcial. Seja f(x) uma função definida em um intervalo I onde a

METODOLOGIA:

Inicialmente foram realizados estudos mais amplos no sentido de equações diferenciais ordinárias e de suas técnicas de resolução. Tais equações estão presentes em diversos problemas inerentes aos modelos lineares da física matemática. No âmbito da transformada de Laplace, foi feito o estudo de suas definições e das suas propriedades operacionais mais importantes, as quais nos possibilitam resolver problemas mais complexos. Também buscamos a obtenção de transformadas de Laplace de funções elementares, que serão fortemente utilizadas durante os cálculos, necessários para a resolução das equações diferenciais propriamente ditas. Consideramos problemas, nos quais, as funções envolvidas são contínuas por partes em [0,├ ∞) ┤ e são funções de ordem exponencial. Estas condições são suficientes, porém, não são necessárias para a existência de uma transformada de Laplace. Por exemplo, a função f(t)=t^(-1⁄2) não é contínua por partes no intervalo [0,├ ∞) ┤, no entanto, a sua transformada de Laplace existe. Quando consideramos o caso em que as funções envolvidas são descontínuas, torna - se difícil a resolução da equação diferencial através de certas técnicas usuais, sendo necessária a utilização de uma técnica que seja mais adequada. A inversão da transformada, que requer, em geral, o uso da análise complexa, particularmente do teorema dos resíduos, foi inicialmente tratada utilizando - se apenas manipulações algébricas.

RESULTADOS:

Basicamente, esta técnica converte o problema inicial em outro problema, aparentemente mais simples de ser abordado, chamado de problema auxiliar (ou transformado). Resolve - se o problema auxiliar e, através da transformada inversa, iremos recuperar a solução do problema inicial. É claro que o cálculo da transformada inversa requer, em geral, um bom conhecimento das funções analíticas. Em geral, quando ficar difícil a resolução, através dos métodos usuais, de um problema representado por uma equação diferencial ordinária linear de primeira ou segunda ordem, ou por sistemas destas equações, aplicamos a metodologia da transformada de Laplace, que se faz em uma ferramenta inestimável que simplifica a resolução de problemas deste tipo. Verificou - se que a integração por partes envolvida no cálculo de algumas transformadas, pode se tornar bastante complicada. Neste trabalho, provamos os resultados mais importantes, que facilitam o cálculo destas transformadas, como os Teoremas de Translação, usados para se calcular a transformada de diversos tipos de funções não triviais. Em particular, aplicamos esta técnica na busca de solução da equação diferencial ordinária do oscilador harmônico amortecido e forçado, além de resolvermos uma equação integral de Volterra.

CONCLUSÃO:

O método da Transformada de Laplace é bastante eficaz em comparação com outros métodos, uma vez que considera as condições iniciais desde o início, de modo que não haja a necessidade de se encontrar primeiramente a solução geral para depois se obter a solução que satisfaz as condições dadas. Além disso, a transformada de Laplace é uma transformação linear especialmente útil quando buscamos a solução de equações diferenciais relacionadas com fenômenos ou situações de natureza descontínua, relativa aos mais variados modelos matemáticos, dos mais simples aos mais complexos.

Palavras-chave: Transformadas Integrais, Transformada de Laplace, Equações Diferenciais.