64ª Reunião Anual da SBPC

A. Ciências Exatas e da Terra - 5. Matemática - 4. Matemática Aplicada

TEORIA DE HOMOTOPIA MODERNA: CATEGORIAS MODELO

Fernando Lucatelli Nunes 1

1. Departamento de Matemática, Instituto de Ciências Exatas - Universidade de Brasília

INTRODUÇÃO:

A teoria das categorias modelo, primeiramente desenvolvida por Quillen em 1967 no seu trabalho “Homotopical Algebra”, pode ser encarada como um tratamento axiomático da teoria de homotopia. O problema básico que a teoria de categorias modelo resolve é relacionado com localização de categorias. Em uma categoria dada, muitas vezes, existe uma classe de morfismos (equivalências fracas) que gostaríamos de considerar como sendo isomorfismos, ou seja, estamos interessados em construir uma nova categoria na qual esses morfismos são isomorfismos. A inversão formal desses morfismos é chamada de localização da categoria: de forma geral, não temos o controle dos morfismos da categoria localizada (por exemplo,os morfismos entre dois objetos podem não formar um conjunto). No entanto, se as equivalências fracas fazem parte de uma estrutura modelo, associamos à categoria uma categoria de homotopia (cujos morfismos são classes de homotopia): essa categoria de homotopia é equivalente à categoria localizada. Como a ideia de inverter equivalências fracas é central em matemática, a teoria de categorias modelo é um assunto muito importante. Em particular, atualmente essa teoria compõe os fundamentos da teoria de homotopia moderna e da topologia algébrica. Esse trabalho objetiva introduzir, divulgar e motivar um pouco da importância e relevância dessa teoria tanto em teoria de homotopia quanto em outras áreas da matemática.

METODOLOGIA:

O trabalho foi concentrado no estudo em nível elementar da relação entre a categoria modelo e sua categoria de homotopia. A principal referência para desenvolvimento deste projeto foi o livro “Homotopical Algebra” de Quillen. No entanto, as definições adotadas no presente trabalho são mais modernas: usualmente adotadas nos artigos e exposições atuais. Por exemplo, na definição de categoria modelo, exigimos que a fatoração seja functorial e que a categoria modelo seja completa e cocompleta. Além da teoria abstrata de homotopia, foram trabalhados alguns exemplos de categorias modelo: dentre eles, três estruturas modelo na categoria topológica e a categoria modelo dos grupóides. Além disso, para auxiliar na intuição e construção de colimites e limites de homotopia, foram trabalhados elementos de teoria de homotopia simplicial. O projeto todo foi voltado para trabalhar o básico dos fundamentos para estudos posteriores em teoria de homotopia moderna. Durante o projeto, um pequeno material de divulgação sobre o assunto foi composto. Esse material será disponibilizado no endereço eletrônico http://studiis.wordpress.com/.

RESULTADOS:

Após definir categorias modelo, foi provado que a categoria de homotopia associada é, de fato, equivalente à categoria localizada. E, então, foram mostradas algumas formas equivalentes de se construir a categoria e o functor de homotopia de uma categoria modelo. Foram trabalhados alguns exemplos de categorias modelo, incluindo três estruturas modelo na categoria topológica e a categoria modelo dos grupóides. A principal estrutura trabalhada na categoria topológica é aquela na qual as cofibrações são cofibrações de Hurewicz fechadas, as equivalências fracas são equivalências homotópicas e as fibrações são fibrações de Hurewicz. Colimites e limites de homotopia foram estudados em nível elementar. O pushout de homotopia em categorias modelo próprias à esquerda são interessantes computacionalmente: basta substituir um dos morfismos induzidos por uma cofibração e calcular o pushout. Uma categoria modelo na qual todos os objetos são cofibrantes é necessariamente uma categoria modelo própria à esquerda. Em particular, a categoria topológica é própria à esquerda. Um morfismo de Quillen é definido como uma par de functores adjuntos entre categorias modelo, no qual o functor adjunto à esquerda preserva cofibrações e cofibrações triviais. Um dos resultados mais básicos sobre morfismos de Quillen à esquerda é que eles preservam colimites de homotopia. Ao verificar que o functor grupóide fundamental é um morfismo de Quillen, fica provada uma versão mais forte do Teorema de van Kampen.

CONCLUSÃO:

O projeto desenvolveu a teoria de categorias modelo em nível elementar, necessário para estudos posteriores em teoria de homotopia moderna. São poucos os axiomas de definição de uma categoria modelo, no entanto, são suficientes para se desenvolver os métodos e resultados básicos de teoria de homotopia. Dessa forma, ao se verificar os axiomas numa dada categoria, já estamos munidos de toda maquinaria básica da teoria de homotopia para trabalhar nessa categoria. Teoria das categorias modelo é especialmente importante para entender os fundamentos modernos da teoria de homotopia. Por exemplo, muitas vezes, em teoria de homotopia moderna, é importante comparar duas estruturas modelo; ou simplesmente definir uma categoria modelo interessante que possua uma categoria de homotopia equivalente a uma dada categoria. Apesar do nível elementar do projeto, foi possível observar que, de fato, a teoria de categorias modelo possibilita o desenvolvimento de certos argumentos relacionados com a comparação de estruturas modelo ou com o entedimento do functor de homotopia que levam a resultados novos ou versões mais fortes de resultados clássicos de forma quase direta. A teoria de categorias modelo é, também, responsável por tornar as ideias de um argumento clássico mais claras: mostrando quais passagens são formalismo ou álgebra e quais passagens dependem de algum resultado topológico.

Palavras-chave: Categorias Modelo, Colimite de Homotopia, Morfismo de Quillen.