64ª Reunião Anual da SBPC

A. Ciências Exatas e da Terra - 3. Física - 2. Ensino de Física

SIMULAÇÃO DAS TRAJETÓRIAS DO PÊNDULO ESFÉRICO E CAOS

Felix René Arias Revollo 1 Marcio Antonio Sian Filho 1 Rafael Bratifich 1

1. Depto. de Física, UEL

INTRODUÇÃO:

Descrevem-se por simulação os movimentos do pêndulo esférico no espaço tri-dimensional. Como existe conservação do momento angular orbital, L=constante, o movimento oscilatório é descrito por uma equação diferencial não linear, cuja solução numérica foi obtida usando o método de Euler-Cromer, para ângulos inicias de oscilação Ө>5o, dӨ/dt=0, e diferentes valores do momento angular L. O objetivo do trabalho é visualizar os diferentes movimentos resultantes das condições inicias. Foram descritos os movimentos para ângulos iniciais de oscilação variando entre 5o< <80o e 1

METODOLOGIA:

O pêndulo esférico é um pêndulo de comprimento R, com uma massa m presa numa das extremidades e fixada no centro de uma esfera pela outra extremidade, e realizando movimentos combinados de oscilação e rotação. As equações de movimento mostram a conservação do momento angular orbital, L=constante, ou seja, para cada valor de L teremos uma velocidade de rotação fixa. O movimento oscilatório é descrito pela equação diferencial não linear: d2Ө/dt=L2cos Ө/R4sen3 Ө-(g/R)sen Ө, onde g é aceleração da gravidade local e a massa foi escolhido como a unidade, m=1, para facilitar os cálculos. A solução, por ser uma equação não linear, é calculada numericamente usando o método de Euler-Cromer, para condições iniciais Ө>5o, velocidade inicial de oscilação d Ө/dt=0, e momentos angulares L>0.

RESULTADOS:

Como o objetivo do trabalho é visualizar os diferentes movimentos complexos do pêndulo esférico, resultantes das diferentes condições iniciais impostas, foram descritas as trajetórias para ângulos iniciais de oscilação variando entre 0o< Ө<80o, velocidades angulares de oscilação nulas, d Ө/dt=0, e momento angular orbital L variando no intervalo de 1

CONCLUSÃO:

O objetivo é mostrar como a não linearidade da equação de movimento muda o comportamento do objeto em movimento, neste caso o pêndulo esférico, com a mudança das condições iniciais. No caso das pequenas oscilações, para pequenos ângulos de oscilação Ө<5o, e pequenos valores do momento angular orbital L essa mudança nas trajetórias é pouco visível já que a equação de movimento se reduz à equação de um oscilador harmônico simples. Dependendo das condições iniciais, a equação não linear mostra trajetórias imprevisíveis, difíceis de serem descritas e que devem estar associadas com o conceito de caos. Para algumas condições elas mostram trajetórias que podemos facilmente associar com figuras geométricas conhecidas como esferóides, elipsóides e outras figuras.

Palavras-chave: Pêndulo esférico simulação, Simulação de movimentos, Pêndulo esférico e caos.