64ª Reunião Anual da SBPC

A. Ciências Exatas e da Terra - 5. Matemática - 1. Álgebra

SOBRE CERTAS PROPRIEDADES DA CODIMENSÃO DA IMAGEM DA APLICAÇÃO CORRESTRIÇÃO EM HOMOLOGIA

Maria Gorete Carreira Andrade 1 Amanda Buosi Gazon 2

1. Profa Dra - Depto. de Matemática, IBILCE – UNESP – São José do Rio Preto – SP 2. Aluna de Doutorado - Depto. de Matemática, UFSCAR – São Carlos – SP

INTRODUÇÃO:

Dado um grupo G, um inteiro n e o corpo com dois elementos Z2, podemos associar a G um grupo abeliano, que pode ser visto como um espaço vetorial sobre Z2, denotado por Hn(G), denominado grupo de homologia de G com coeficientes em Z2. A teoria de homologia de grupos teve sua origem primeiramente na Topologia, através do estudo de espaços asféricos, e depois na Álgebra, através do conceito de resoluções projetivas. Essa teoria é bastante interessante e produz resultados nas áreas de topologia algébrica e álgebra abstrata, dentre outras. Através dessa teoria é possível, por exemplo, obter resultados sobre decomposição de grupos e sobre certas propriedades geométricas do grupo G. Se S é um subgrupo de G, podemos definir uma aplicação no nível 1 de homologia, denominada aplicação correstrição, que é induzida pela inclusão de S em G. Essa aplicação também pode ser definida para uma família de subgrupos de G. Neste trabalho, através da codimensão da imagem da aplicação correstrição, obtemos resultados dentro da teoria de decomposição de grupos e também obtemos condições para que um grupo satisfaça certas propriedades geométricas advindas da dualidade de Poincaré para variedades.

METODOLOGIA:

Para a realização do trabalho foi necessário o estudo de diversos resultados da teoria de álgebra homológica e teoria generalizada de grupos, que inclui decomposição de grupos e grupos e pares de dualidade de Poincaré. Alguns pré-requisitos em topologia algébrica foram também necessários, em particular, o estudo de um certo espaço topológico, denotado por K(G,1), que tem recobrimento universal contrátil e grupo fundamental isomorfo a G e que fornece, através da topologia, a homologia do grupo G.

RESULTADOS:

Dado um grupo G e F = { Si : i pertence a I} uma família de subgrupos de G, podemos definir em homologia a aplicação correstrição, denotada por corFG , de H1(G) na soma direta dos grupos H1(Si), com i em I. Através da codimensão da imagem de corFG, que denotamos por codim(Im corFG), obtemos resultados na teoria de grupos e pares de dualidade e decomposição de grupos. Por exemplo, mostramos que se G é finitamente apresentado e o par (G,F) é um par de dualidade de Poincaré de dimensão n, com F tendo r elementos e o índice de S em G infinito para todo S na família F, então codim(Im corFG) = 2 - r + dim Hn-1(G) . Também mostramos, dentre outros resultados, que se G é um produto livre amalgamado de dois subgrupos S e T de G (com subgrupo amalgamado H) e F = {S, T} então codim(Im corFG ) = 0. Como consequência desses resultados concluímos, sob certas hipóteses, que se (G, {S,T}) é um par de dualidade de Poincaré de dimensão n > 1 então G não é um produto livre amalgamado de S e T.

CONCLUSÃO:

Muitos resultados em teoria de decomposição de grupos e grupos e pares de dualidade já foram obtidos pela primeira autora (em coautoria com outros parceiros científicos) utilizando-se a cohomologia de grupos (em lugar da homologia) e a aplicação restrição (em lugar da correstrição). Nesse trabalho, através do número dado pela codimensão da imagem da aplicação correstrição em homologia, conseguimos uma maneira alternativa de se obter resultados nas teorias de dualidade de grupos e decomposição de grupos, trabalhando com maior foco na homologia de grupos, em lugar da cohomologia.

Palavras-chave: homologia de grupos, decomposição de grupos, dualidade de Poincaré.