64ª Reunião Anual da SBPC

A. Ciências Exatas e da Terra - 5. Matemática - 6. Matemática

TEOREMA DA DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA.

João Freitas de Almeida Filho 1 Antônio Grangeiro Filho 1

1. Facul. de Educ., ciênc. e Letras do Sertão Central, Univ. Estad. do Ceará –UECE.

INTRODUÇÃO:

Este teorema está demonstrado nos livros de cálculo utilizando polinômio de Taylor de grau um e um caminho estranho ao desenvolvimento do assunto, pois somente posteriormente este assunto será estudado. Por sua demonstração ser estranha é de difícil compreensão para o aluno. Fazer uma demonstração baseada em apenas conceitos já conhecidos, certamente será de grande proveito para o estudante, e é por esta razão que propomos uma demonstração baseada nos conceitos de derivada e limite.

METODOLOGIA:

O professor orientador percebeu a dificuldade dos alunos de cálculo I nas várias turmas que lecionou e então começou a pensar numa outra solução de melhor compreensão. Sugeriu a ideia para tal demonstração e começamos então a trabalhar na questão, até que enfim conseguimos uma nova demonstração.

RESULTADOS:

O Teorema afirma que se y é uma função de u e u uma função de x e u derivável em a e f derivável em u(a) então a derivada de y com relação a x existe e é igual ao produto da derivada de f em u(a) pela derivada de u em a. Mostramos este resultado utilizando apenas os conceitos de limites e derivadas, como pretendido. A maior dificuldade nesta demonstração está em não podermos tomar a diferença entre u(x) e u(a) como sendo diferente de zero para todos os valores de x muito próximos de a. Por isto tivemos que fazer duas considerações, quando isto acontecia e quando isto não acontecia, e verificamos que o resultado é sempre o mesmo.

CONCLUSÃO:

Certamente a demonstração ficou mais fácil para os alunos, no entanto, para que eles a compreendam devem dominar bem os conceitos de limite e derivadas. Além disso, este teorema é um bom exercício sobre limite para os alunos. O aluno que demonstrar compreender este teorema, de fato entendeu bem a definição de limite.

Palavras-chave: Teorema da função composta, Regra da cadeia, Derivada.