64ª Reunião Anual da SBPC

A. Ciências Exatas e da Terra - 5. Matemática - 4. Matemática Aplicada

TEORIA DOS JOGOS: EQUILÍBRIO DE NASH E JOGOS EVOLUCIONÁRIOS

Fernando Lucatelli Nunes 1 Priscila Costa Diniz 1 Wilson Domingos Sidinei Alves Miranda 1 Vanessa Moraes Mendes 2

1. Departamento de Matemática, Instituto de Ciências Exatas - Universidade de Brasília 2. Depto de Educação Superior de Tecnologia - Instituto Federal de Ciência e Tecnologia do Maranhão

INTRODUÇÃO:

A teoria dos jogos originou-se na tentativa de modelar o comportamento estratégico em economia. Um dos primeiros trabalhos nesse sentido foi o livro Theory of Games and Economic Behavior dos matemáticos Von Neumann e Morgenstern. A publicação desse trabalho foi seguida de um grande entusiasmo, pois acreditava-se que, nele, tinha sido desenvolvida uma teoria completa sobre comportamento estratégico. Com esse mesmo entusiasmo, a teoria foi logo colocada a prova em várias áreas do conhecimento que envolvem situações estratégicas. Porém rapidamente ficou claro que o trabalho de Von Neumann e Morgenstern era apenas o início de uma teoria. Posteriormente, o trabalho do famoso matemático John Nash, Nobel de economia, proporcionou a possibilidade de um grande desenvolvimento na teoria dos jogos, mediante a introdução de um importante conceito de equilíbrio. E, novamente, ressurgiu um grande entusiasmo na aplicabilidade dessa poderosa teoria. Atualmente, a pesquisa em teoria dos jogos continua ,e as aplicações têm mostrado resultados muito satisfatórios: cada vez mais áreas encontram uma importante ferramenta de modelagem na teoria dos jogos. Este projeto objetiva introduzir, divulgar e motivar o estudo de teoria dos jogos e dos jogos evolucionários. Para isso, foram trabalhados elementos da teoria clássica dos jogos, incluindo o equilíbrio de Nash.

METODOLOGIA:

Após um tratamento dos pré-requisitos básicos da teoria dos jogos, foram trabalhados os conceitos de dinâmica necessários para o estudo de jogos evolucionários. Posteriormente, foram estudados problemas e aplicações da teoria dos jogos, de acordo com os interesses de cada autor. Dentre os temas abordados, estão o equilíbrio de Nash, o teorema do minimax, elementos de teoria evolucionária dos jogos, teoremas de ponto fixo (usados na demonstração de existência do equilíbrio de Nash) e aplicações em economia, biologia e ciências da computação. A principal referência bibliográfica usada para o desenvolvimento do projeto foi o livro de Weibull, chamado Evolutionary Game Theory.

RESULTADOS:

Foi feito um estudo detalhado de algumas demonstrações dos teoremas de topologia e análise que foram necessários nas demonstrações dos resultados de teoria dos jogos. Os principais resultados provados em teoria dos jogos foram o teorema de existência do equilíbrio de Nash, o teorema do minimax e alguns resultados em teoria evolucionária dos jogos. O teorema de Nash diz que, em certos tipos de jogos, existe equilíbrio de Nash: isso quer dizer que existe uma combinação de estratégias dos jogadores que é ótima (nenhum jogador melhoraria a sua recompensa caso alterasse sua estratégia individualmente). Foram trabalhadas duas demonstrações do teorema de Nash: uma usando o teorema do ponto fixo de Kakutani e outra usando o teorema do ponto fixo de Brouwer. Aplicamos a teoria desenvolvida, principalmente, em situações de economia e biologia. Durante o projeto, foi composto um texto de divulgação, que será disponibilizado no endereço eletrônico http://studiis.wordpress.com/.

CONCLUSÃO:

A ideia inicial do projeto foi motivar o estudo da teoria dos jogos, aplicando a teoria (em nível elementar) em algumas áreas do conhecimento. Diante da diversidade de interesses dos autores, o projeto teve um grande grau de interdisciplinaridade e fez ponte entre várias áreas do conhecimento. O tratamento de problemas de economia e biologia via teoria dos jogos mostrou o grande potencial de aplicabilidade do assunto: por exemplo, verificamos que, em vários jogos de áreas distintas, o conceito de equilíbrio de Nash nos possibilita inferir grandes e importantes resultados que, muitas vezes, contradizem o que a nossa intuição nos sugere.

Palavras-chave: Teorema do Equilíbrio de Nash, Teorema do Ponto Fixo de Brouwer, Teorema do Ponto Fixo de Kakutani.