64ª Reunião Anual da SBPC

A. Ciências Exatas e da Terra - 5. Matemática - 1. Álgebra

Uma Introdução às Álgebras de Lie e suas Representações

Eliana Carla Rodrigues 1 Jhone Caldeira 2

1. Instituto de Matemática e Estatística – UFG 2. Prof. Dr./Orientador – Instituto de Matemática e Estatística – UFG

INTRODUÇÃO:

As álgebras de Lie são estruturas algébricas inerentemente interessantes e estão relacionadas a vários problemas em aberto. Uma álgebra de Lie consiste de um espaço vetorial munido de um produto bilinear que satisfaz a propriedade antissimétrica e a Identidade de Jacobi. Para essa álgebra, apresentaremos conceitos como derivação, solubilidade, nilpotência e representação. O enfoque desse estudo está em exemplificar as definições e apresentar resultados preliminares da teoria das álgebras de Lie para que se possa demonstrar resultados como o Teorema de Engel, o Teorema de Lie e o Critério de Cartan. O Teorema de Engel afirma que uma álgebra de Lie de dimensão finita é nilpotente se, e somente se, todos os seus elementos são ad-nilpotentes. O Teorema de Lie afirma que dada uma subálgebra (de Lie) solúvel da álgebra de Lie formada pelos endomorfismos de um espaço vetorial V de dimensão finita, existirá uma base de V em relação à qual as matrizes da subálgebra são triangulares superiores. Por fim, se considerarmos uma subálgebra (L) da álgebra de Lie formada pelos endomorfismos de um espaço vetorial V de dimensão finita e se o traço do produto de Lie de um elemento da álgebra L por um elemento da álgebra derivada é zero, então o Critério de Cartan garante que L é solúvel.

METODOLOGIA:

Revisão e pesquisa bibliográfica.

RESULTADOS:

Em Álgebra Linear, para cada transformação linear nilpotente existe uma base em relação à qual a matriz associada é estritamente triangular superior. No contexto das álgebras de Lie temos um problema semelhante: dada uma álgebra de Lie formada por endomorfismos de um espaço vetorial de dimensao finita é possível garantir a existência de uma base desse espaço em relação à qual todas as matrizes associadas às transformações lineares são triangulares superiores? O Teorema de Engel responde esta pergunta afirmando que uma álgebra de Lie é nilpotente se, e somente se, é ad-nilpotente.

CONCLUSÃO:

O Teorema de Engel é o primeiro resultado clássico dentre os estudados, sua demonstração é por si só um grande aprendizado pelo modo como é utilizado o Método de Indução Matemática, juntamente com resultados precedentes. Além disso, é muito interessante conseguirmos um resultado análogo àquele encontrado na Álgebra Linear. As representações de sl(2) compuseram um dos tópicos finais do estudo. Para sl(2) garantimos a existência de uma única (a menos de isomorfismo) representação irredutível de dimensão n + 1, para cada inteiro não negativo. Além disso, essas representações cobrem todas as representações de dimensão finita.

Palavras-chave: Álgebra de Lie, Solubilidade, Nilpotência.