64ª Reunião Anual da SBPC

A. Ciências Exatas e da Terra - 5. Matemática - 2. Análise

O PROBLEMA DA QUADRATURA DO CÍRCULO E A IRRACIONALIDADE DO NÚMERO PI

Pedro Paulo Abel Balbo 1 Benedito Antonio da Silva 2

1. Depto. de Matemática, Faculdade de Ciências Exatas e Tecnologia – PUC-SP 2. Prof. Dr. / Orientador, Depto. de Matemática – PUC-SP

INTRODUÇÃO:

Este trabalho foi dividido em duas partes. Na primeira delas fizemos um resgate histórico sobre o número π e o problema da quadratura do círculo, que foi tema de estudo durante cerca de 25 séculos. Em seguida mostramos o pensamento de vários matemáticos a respeito deste número, seguido da explicação da impossibilidade de quadrar o círculo. Na segunda parte, apresentamos uma demonstração detalhada da irracionalidade do número π.

METODOLOGIA:

Esta pesquisa bibliográfica foi realizada com consultas a livros, principalmente de Cálculo e Análise. Encontros semanais com o orientador para esclarecimento de dúvidas, conceitos matemáticos que não estavam na grade curricular do curso e discussões sobre o assunto.

RESULTADOS:

- Anaxágoras enuncia o Problema da Quadratura do Círculo, que consiste em construir um quadrado com a mesma área que um círculo dado, usando apenas compasso e régua sem escala. Hipaso de Metaponto descobre que existem números que não são a razão entre outros dois, isto é, que existem grandezas incomensuráveis. Arquimedes prova que se C é o comprimento de qualquer circunferência e d o seu diâmetro, então C/d era um valor que está muito próximo do que hoje conhecemos como π. Lambert, em 1767, prova que π é irracional. Com isso perdeu-se as esperanças de tentar achar um período nas casas decimais de π. Lindemann, em 1882, prova que π é transcendente. Com essa demonstração, fica também provado que π não é construtível, ou seja, dado um segmento de reta tomado como unidade, não conseguimos traçar outro segmento a partir do primeiro que tenha π unidades. Com essa última afirmação, temos que não é possível construir um quadrado que tenha área igual a π, então é impossível quadrar o círculo. - A demonstração da irracionalidade do número π é feita por redução ao absurdo, ou seja, inicialmente supomos que a tese é falsa e, ao chegar a um absurdo matemático, concluiremos que a suposição feita é falsa, confirmando assim a tese. Essa suposição feita inicialmente é de que o número π seja racional.

CONCLUSÃO:

Há quase 4000 anos o número π vem instigando curiosidades nos matemáticos, a primeira delas foi o problema da quadratura do círculo. Alguns matemáticos se preocuparam apenas em achar novas casas decimais na tentativa de descobrir um padrão entre elas. Outros foram mais além e fizeram uma análise mais profunda que resultaram nas descobertas de sua irracionalidade e de sua transcendência. Esta última, estabelecendo definitivamente a impossibilidade da quadratura do círculo.

Palavras-chave: Número π, Quadratura do Círculo, Irracionalidade do π.