65ª Reunião Anual da SBPC

A. Ciências Exatas e da Terra - 5. Matemática - 2. Análise

Curvas Especiais em E^n

Alcides de Carvalho Júnior - Instituto de Matemática - UFAL Feliciano Vitório - Instituto de Matemática - Prof. Dr./Orientador - Instituto de Matemática - UFAL

INTRODUÇÃO:

Neste trabalho faremos um passeio pelas curvas que "moram" no espaço euclidiano n-dimensional E^n. Em seguida, obteremos algumas propriedades de uma hélice generalizada. Além disso, faremos a prova, em detalhes, do Teorema de caracterização de hélices generalizadas. Antes, definiremos os pares de Bertrand e provaremos algumas proposições visando a demonstração do teorema que diz que se: uma curva com curvatura e torção não nulas tem dois pares de Bertrand, então tem infinitos pares de Bertrand, e isto só ocorre quando é uma hélice circular. Introduziremos o espaço de Lorentz-Minkowski E_1^n, caracterizaremos os vetores, subespaços e as curvas pelo seu caráter causal. Por fim, obteremos alguns resultados sobre hélices semelhantes ao do ambiente euclidiano. Uma Hélice generalizada é uma curva a tal que as retas tangentes de fazem um ângulo constante com uma direção fixa do espaço euclidiano n-dimensional. Quando n =3, o estudo de tais curvas é clássico e diversas propriedades interessantes são conhecidas, a saber, a razão entre a curvatura e a torção é constante e que todas as retas normais passando por são paralelas a um plano

OBJETIVO DO TRABALHO:

Iniciar na compreensão e análise de problemas matemáticos, usando para isso demonstrações dos principais teoremas, aplicações, resoluções de exercícios e artigos elementares de matemática; Proporcionar ao bolsista a aprendizagem de técnicas e métodos de pesquisa, bem como estimular o desenvolvimento do pensar cientificamente e da criatividade, decorrentes da das condições criadas.

MÉTODOS:

Inicialmente o discente desenvolveu atividades voltadas para seu amadurecimento, o qual possibilitou entender melhor as técnicas e as ferramentas para “atacar” o problema abordado; Quanto as técnicas e ferramentas utilizadas neste trabalho, o discente cursou cursos de iniciação cientifica para solidificar sua matemática. Na primeira parte do projeto cursou o curso de calculo avançado oferecido pela Pós-Graduação de matemática do IM - UFAL o resultado foi muito satisfatório obtendo conceito A - (A menos), já na segunda etapa o discente cursou analise no R^n no mestrado e novamente o resultado foi muito satisfatório obtendo conceito B+(B mais). Contribuindo dessa forma para reduzir o tempo médio de permanência do discente na pós-graduação.

RESULTADOS E DISCUSSÃO:

Quando n=3 concluímos o objetivo e chegamos ao resultado clássico em que se uma curva a possui mais que um par de Bertrand, então tem um número infinito de pares de Bertrand e, neste caso, é uma hélice circular, o que se expressa no teorema abaixo. Em seguida trabalhamos no espaço de Lorentz-Minkowski, denotado por E³_1 e tivemos alguns resultados parciais. O aluno apresentou o seu trabalho na categoria pôster no VI Simpósio Nacional / Jornadas de Iniciação Científica realizado Impa, Rio de Janeiro, em novembro de 2012.

CONCLUSÕES:

Os objetivos desse projeto foram atingidos, uma vez que concluímos o problema quando a dimensão do espaço é 3. Em dimensões maiores tivemos resultados parciais e fomos trabalhar em outro ambiente como o espaço de Lorentz-Minkowski. As técnicas e ferramentas dos cursos de Iniciação se fez necessárias tanto pra uma prova dos teoremas quanto na rigorosidade dos argumentos feitos.

Palavras-chave: Espaço de Lorentz-Minkowski, Hélices generalizadas, Pares de Bertrand.