65ª Reunião Anual da SBPC

B. Engenharias - 1. Engenharia - 3. Engenharia Civil

ANÁLISE DAS VIBRAÇÕES NÃO-LINEARES DE PLACAS RETANGULARES

Felipe Gonçalves Pinho¹ - 1. Graduando da Escola de Engenharia Civil – UFG, Goiânia – Go Frederico Martins Alves da Silva² - 2. Prof. Dr. Orientador – Escola de Engenharia Civil – UFG, Goiânia – Go

INTRODUÇÃO:

Placas retangulares são estruturas que podem estar submetidas a carregamentos dinâmicos, como por exemplo, veículos e tráfego de pedestres. Devido ao desenvolvimento tecnológico permitir arquiteturas mais complexas e esbeltas, reforça-se a necessidade de se realizar um estudo dinâmico para que se conheça o comportamento dessas estruturas quando submetidas a excitações dependentes do tempo. Para estudar o comportamento dinâmico de uma placa encontra-se a equação diferencial parcial dinâmica e o campo de deslocamento transversal que satisfaz tanto a equação de equilíbrio quanto as condições de contorno do problema, sendo que para placas apoiadas em bordas opostas ou para placas com pelo menos duas bordas opostas apoiadas a solução pode ser obtida de forma analítica. Para outras combinações das condições de contorno alguns trabalhos utilizam o método de Galerkin (Bedair e Sherbourne, 1994; Ilanko, 2002; Amabili, 2004) para obter as frequências naturais, usando, geralmente, uma soma de funções de vigas para aproximar a solução do problema. Neste trabalho, utilizou-se o método de Galerkin-Iterativo (Machado, 2007; Pinho e Silva, 2012) que permite o estudo analítico-numérico de vibração não linear de placas sob diversas condições de contorno.

OBJETIVO DO TRABALHO:

O objetivo desse trabalho é deduzir uma solução analítica para a análise das oscilações não lineares de placas retangulares submetidas a cargas dependentes do tempo, empregando-se o método de Galerkin-Iterativo para a obtenção do campo de deslocamento transversal da placa submetida a diferentes condições de contorno.

MÉTODOS:

Utilizando uma equação diferencial linear de equilíbrio dinâmico de uma placa deseja-se encontrar o campo deslocamento transversal, o qual satisfaça a própria equação e um conjunto de condições de contorno. Para isso, realizam-se iterações com as equações diferenciais parciais utilizando o método de Galerkin-Iterativo, cuja solução será encontrada usando o método de separação de variáveis onde a função campo deslocamento será dividida em duas funções, X(x) e Y(y), nas direções x e y da placa. Inicia-se com uma função polinomial em X(x) que atenda as condições de contorno impostas pelo problema, sendo que tais equações são determinadas através da equação da linha elástica de vigas. A partir da equação em X(x) obtém-se uma equação diferencial ordinária em Y(y), a qual é resolvida aplicando-se as condições de contorno. Realizada a primeira iteração tem-se uma função em Y(y). Seguindo o mesmo procedimento, agora com a função Y(y), repete-se este processo até que a diferença entre as iterações sejam desprezíveis. As equações não lineares de equilíbrio seguem a teoria clássica de placas esbeltas de von-Karmán e são resolvidas a partir do campo de deslocamento transversal encontrado no método de Galerkin-Iterativo (Pinho e Silva, 2012).

RESULTADOS E DISCUSSÃO:

Para determinação das fronteiras de instabilidade, respostas no tempo e planos fase considera-se uma placa submetida a esforços axiais na direção do eixo x e y, os quais são dependentes da carga crítica estática, frequência natural e parâmetros que expressam uma fração da carga crítica e da frequência de excitação. As fronteiras de instabilidade paramétrica ilustram o comportamento dinâmico das placas submetidas a diversas combinações de carregamento, indicando os parâmetros de carregamento que apresentam convergência, ao longo do tempo, da amplitude de vibração para uma solução trivial ou para valores diferentes de zero. A resposta no tempo para um determinado carregamento ilustra as soluções que convergem para zero e as curvas em que as soluções apresentam amplitude de vibração diferente de zero. Observa-se que a resposta no tempo de uma condição de carregamento abaixo da fronteira de instabilidade paramétrica converge para uma solução nula. No entanto, para uma condição de carregamento acima da fronteira de instabilidade paramétrica a resposta é quase-periódica.

CONCLUSÕES:

No presente trabalho analisa-se o comportamento dinâmico de placas retangulares submetidas a carregamentos em diferentes direções através de um método que permite a consideração de diferentes condições de contorno. Para isso, utilizou-se o método de Galerkin-Iterativo, obtendo as fronteiras de instabilidade paramétrica com suas respectivas curvas de plano-fase e resposta no tempo. Assim, foi possível identificar a região do espaço de carregamento que a placa retangular converge para uma vibração nula ou converge para regiões com comportamento quase-periódico de vibração. Essa região limite é denominada fronteira de instabilidade paramétrica.

Palavras-chave: placas retangulares, Galerkin-Iterativo, dinâmica não-linear.