65ª Reunião Anual da SBPC

A. Ciências Exatas e da Terra - 5. Matemática - 6. Matemática

A Integral de Riemann Generalizada e suas aplicações

Luís Henrique Benetti Ramos - EESC - USP Câmpus São Carlos Márcia Cristina Anderson Braz Federson - Profª Drª/ Orientadora - ICMC USP Câmpus São Carlos

INTRODUÇÃO:

A teoria de integração tem importância imensurável dentro da Análise Matemática. Desde sua origem com as proposições de Newton e Leibniz, tal teoria foi modificando-se ao passar do tempo, procurando sempre adequar-se a definição, proposta por Newton, conhecida como teorema fundamental do cálculo, a qual afirma que toda função deveria ter sua primitiva, ou anti-derivada. Dentro do progresso sobre esse tópico da Análise, podemos citar o avanço proporcionado por Riemann, Lebesgue, Denjoy – Peron, e finalmente, por Kurzweill-Henstock, que criam uma definição de integral que permite integrar toda e qualquer função, conhecida como Integral de Riemann Generalizada devido a sua semelhança com a definição de Riemann.

OBJETIVO DO TRABALHO:

Estudo da teoria da Integral de Riemann Generalizada, teoria de integração que garante o teorema fundamental do cálculo para a maior classe possível de funções, corrigindo os defeitos da integral de Riemann e oferecendo uma definição mais simples e intuitiva que a de Denjoy-Perron. Também são analisadas aplicações desta em funções antes não integráveis, úteis para a produção tecnológica.

MÉTODOS:

Apresentando a evolução das teorias de integração, busca-se exemplos de funções que não são integráveis via algum método anterior ao de Kurzweil-Henstock. Provando que uma função de determinada classe não será integrável via Riemann ou Lebesgue, por exemplo funções de grandes oscilações ou de conjuntos imensuráveis, busca-se uma alternativa de integração através da Integral de Riemann Generalizada. Assim, será concluído que o espaço das funções integráveis via Kurzweil-Henstock engloba os anteriores, integrando qualquer classe de função.

RESULTADOS E DISCUSSÃO:

O Teorema Fundamental do Cálculo garante que se F é a forma antiderivativa de f (sendo f qualquer função na reta real), então a integral de f será F calculada em um intervalo fechado [a,b] será a primitiva calculada em seus extremos de integração. Tentando tornar esse teorema válido para toda e qualquer função, encontraremos grandes dificuldades de garanti-lo pela integral de Riemann em funções que vão para infinito, por exemplo. Também, quando o conjunto ao qual está definida a função for imensurável, esta função não será integrável pelo método de Lebesgue. Em tais situações serão usadas integrais de Lebesgue impróprias, ou a integral de Riemann Generalizada. A não aplicação da integral de Riemann em funções descontínuas ou com oscilações e valores infinitos e a de Lebesgue em funções de conjunto imensuráveis traz como resultado que a integral e Riemann Generalizada engloba estas e integra toda e qualquer função, através da função gaugiana, restritora do intervalo de integração em uma variável, que permite analisar mais criteriosamente partes oscilatórias ou descontinuas de uma função. Como, por exemplo, funções que estudam cinética de combustíveis em reatores nucleares.

CONCLUSÕES:

Conclui-se que a existência de um método mais abrangente de integração permite-nos lidar da melhor forma possível com funções cotidianas que podem envolver oscilações, valores infinitos, ou saltos, como as quais apresentamos em aplicação deste modelo de integral, dentre elas, a potência e probabilidade de encontrar uma partícula dentro de um reator nuclear. Dessa forma, a Integral de Riemann Generalizada mostra-se instrumento de Análise Matemática útil e em algumas áreas de conhecimento, como a Física e a Engenharia,indispensável para o estudo de situações mais próximas do real. Em vista disso, entendemos que o aprendizado da integral de Riemann Generalizada poderia fazer parte da formação inicial de graduandos, pois possui definição semelhante à da integral de Riemann, sendo facilmente compreensível por alunos de disciplinas de cálculo I.

Palavras-chave: Integral de Riemann, Integral de Kurzweil-Henstock, Análise Matemática.